Theorem zlmodzxzscm 41928

Description: The scalar multiplication of the ℤ-module ℤ × ℤ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzscm.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzscm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Proof of Theorem zlmodzxzscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4836	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {0, 1} ∈ V)
3		fnconstg 6006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
4	3	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({0, 1} × {𝐴}) Fn {0, 1})
5		c0ex 9913	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6		1ex 9914	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
9		3simpc 1053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
10		0ne1 10965	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ≠ 1)
12		fnprg 5861	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} Fn {0, 1})
14	2, 4, 13	offvalfv 41914	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴}) ∘𝑓 (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
15		zlmodzxz.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
16		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
17		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
18		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19		zringbas 19643	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
20	18, 19	syl6eleq 2698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (Base‘ℤring))
21	15	zlmodzxzel 41926	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
22	21	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩} ∈ (Base‘𝑍))
23		zlmodzxzscm.t	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
24		eqid 2610	. . 3 ⊢ (.r‘ℤring) = (.r‘ℤring)
25	15, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24	frlmvscafval 19928	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = (({0, 1} × {𝐴}) ∘𝑓 (.r‘ℤring){⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}))
26	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 ∈ V)
27	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 1 ∈ V)
28		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ V
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ V)
30		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ V
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ V)
32		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘0))
33		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0))
34	32, 33	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)))
35		zringmulr 19646	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
36	35	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ (.r‘ℤring) = ·
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (.r‘ℤring) = · )
38	5	prid1 4241	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
39		fvconst2g 6372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
40	18, 38, 39	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘0) = 𝐴)
41		simp2 1055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
42		fvpr1g 6363	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
43	26, 41, 11, 42	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0) = 𝐵)
44	37, 40, 43	oveq123d 6570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘0)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘0)) = (𝐴 · 𝐵))
45	34, 44	sylan9eqr 2666	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 0) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐵))
46		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (({0, 1} × {𝐴})‘𝑥) = (({0, 1} × {𝐴})‘1))
47		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥) = ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1))
48	46, 47	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)))
49	6	prid2 4242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
50		fvconst2g 6372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
51	18, 49, 50	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (({0, 1} × {𝐴})‘1) = 𝐴)
52		simp3 1056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
53		fvpr2g 6364	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
54	27, 52, 11, 53	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1) = 𝐶)
55	37, 51, 54	oveq123d 6570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((({0, 1} × {𝐴})‘1)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘1)) = (𝐴 · 𝐶))
56	48, 55	sylan9eqr 2666	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = 1) → ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐶))
57	26, 27, 29, 31, 45, 56	fmptpr 6343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩} = (𝑥 ∈ {0, 1} ↦ ((({0, 1} × {𝐴})‘𝑥)(.r‘ℤring)({⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}‘𝑥))))
58	14, 25, 57	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∙ {⟨0, 𝐵⟩, ⟨1, 𝐶⟩}) = {⟨0, (𝐴 · 𝐵)⟩, ⟨1, (𝐴 · 𝐶)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℤcz 11254  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769   ·_𝑠 cvsca 15772  ℤ_ringzring 19637   freeLMod cfrlm 19909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-dsmm 19895  df-frlm 19910

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  42079  zlmodzxznm  42080  zlmodzxzequap  42082