MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zzngim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zzngim 19720
Description: The ring homomorphism is an isomorphism for 𝑁 = 0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zzngim.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
zzngim.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zzngim 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)

Proof of Theorem zzngim
StepHypRef Expression
1 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 zzngim.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘0)
32zncrng 19712 . . . 4 (0 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
4 crngring 18381 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 𝑌 ∈ Ring
6 zzngim.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
76zrhrhm 19679 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
8 rhmghm 18548 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
95, 7, 8mp2b 10 . 2 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌)
10 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
112, 10, 6znzrhfo 19715 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
121, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌)
13 fofn 6030 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
14 fnresdm 5914 . . . . . 6 (𝐿 Fn ℤ → (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿)
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . 5 (𝐿 ↾ ℤ) = 𝐿
166reseq1i 5313 . . . . 5 (𝐿 ↾ ℤ) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
1715, 16eqtr3i 2634 . . . 4 𝐿 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ ℤ)
18 eqid 2610 . . . . . 6 0 = 0
1918iftruei 4043 . . . . 5 if(0 = 0, ℤ, (0..^0)) = ℤ
2019eqcomi 2619 . . . 4 ℤ = if(0 = 0, ℤ, (0..^0))
212, 10, 17, 20znf1o 19719 . . 3 (0 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌))
221, 21ax-mp 5 . 2 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)
23 zringbas 19643 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
2423, 10isgim 17527 . 2 (𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌) ↔ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) ∧ 𝐿:ℤ–1-1-onto→(Base‘𝑌)))
259, 22, 24mpbir2an 957 1 𝐿 ∈ (ℤring GrpIso 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  ifcif 4036  cres 5040   Fn wfn 5799  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  0cn0 11169  cz 11254  ..^cfzo 12334  Basecbs 15695   GrpHom cghm 17480   GrpIso cgim 17522  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  ringzring 19637  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nczn 19670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator