MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zzngim Structured version   Unicode version

Theorem zzngim 18111
Description: The  ZZ ring homomorphism is an isomorphism for  N  = 
0. (We only show group isomorphism here, but ring isomorphism follows, since it is a bijective ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zzngim.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  0 )
zzngim.2  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
zzngim  |-  L  e.  (ring GrpIso  Y )

Proof of Theorem zzngim
StepHypRef Expression
1 0nn0 10706 . . . 4  |-  0  e.  NN0
2 zzngim.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  0 )
32zncrng 18103 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
4 crngrng 16779 . . . 4  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
51, 3, 4mp2b 10 . . 3  |-  Y  e. 
Ring
6 zzngim.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
76zrhrhm 18069 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
8 rhmghm 16939 . . 3  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L  e.  (ring  GrpHom  Y ) )
95, 7, 8mp2b 10 . 2  |-  L  e.  (ring  GrpHom  Y )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
112, 10, 6znzrhfo 18106 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
121, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)
13 fofn 5731 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L  Fn  ZZ )
14 fnresdm 5629 . . . . . 6  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  ( L  |`  ZZ )  =  L )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . 5  |-  ( L  |`  ZZ )  =  L
166reseq1i 5215 . . . . 5  |-  ( L  |`  ZZ )  =  ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ZZ )
1715, 16eqtr3i 2485 . . . 4  |-  L  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ZZ )
18 eqid 2454 . . . . . 6  |-  0  =  0
1918iftruei 3907 . . . . 5  |-  if ( 0  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ 0 ) )  =  ZZ
2019eqcomi 2467 . . . 4  |-  ZZ  =  if ( 0  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ 0 ) )
212, 10, 17, 20znf1o 18110 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  L : ZZ
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)
221, 21ax-mp 5 . 2  |-  L : ZZ
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
23 zringbas 18015 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2423, 10isgim 15910 . 2  |-  ( L  e.  (ring GrpIso  Y )  <->  ( L  e.  (ring  GrpHom  Y )  /\  L : ZZ -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
259, 22, 24mpbir2an 911 1  |-  L  e.  (ring GrpIso  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3900    |` cres 4951    Fn wfn 5522   -onto->wfo 5525   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   NN0cn0 10691   ZZcz 10758  ..^cfzo 11666   Basecbs 14293    GrpHom cghm 15864   GrpIso cgim 15905   Ringcrg 16769   CRingccrg 16770   RingHom crh 16928  ℤringzring 18009   ZRHomczrh 18057  ℤ/nczn 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-dvds 13655  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-imas 14566  df-divs 14567  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-nsg 15799  df-eqg 15800  df-ghm 15865  df-gim 15907  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-rnghom 16930  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-lidl 17379  df-rsp 17380  df-2idl 17438  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-zn 18064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator