MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Unicode version

Theorem zringbas 17889
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 10654 . 2  |-  ZZ  C_  CC
2 df-zring 17884 . . 3  |-ring  =  (flds  ZZ )
3 cnfldbas 17822 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
42, 3ressbas2 14229 . 2  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
51, 4ax-mp 5 1  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    C_ wss 3328   ` cfv 5418   CCcc 9280   ZZcz 10646   Basecbs 14174  ℂfldccnfld 17818  ℤringzring 17883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-cnfld 17819  df-zring 17884
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  17901  zringlpirlem1  17903  zringlpirlem3  17905  zringcyg  17907  zringinvg  17913  zringunit  17914  prmirredlem  17917  prmirred  17919  expghm  17923  mulgghm2  17925  mulgrhm  17926  mulgrhm2  17927  zlmlmod  17954  zlmassa  17955  chrrhm  17962  domnchr  17963  znlidl  17964  znbas  17976  znzrh2  17978  znzrhfo  17980  zndvds  17982  znf1o  17984  zzngim  17985  znfld  17993  znidomb  17994  znunit  17996  znrrg  17998  cygznlem3  18002  frgpcyg  18006  zrhpsgnodpm  18022  dchrzrhmul  22585  lgsqrlem1  22680  lgsqrlem2  22681  lgsqrlem3  22682  lgsdchr  22687  lgseisenlem3  22690  lgseisenlem4  22691  dchrisum0flblem1  22757  nmmulg  26397  cnzh  26399  rezh  26400  zrhf1ker  26404  zrhunitpreima  26407  elzrhunit  26408  qqhval2lem  26410  qqhf  26415  qqhghm  26417  qqhrhm  26418  qqhnm  26419  mzpmfp  29083  zlmodzxzel  30752  zlmodzxzscm  30754  linevalexample  30856  zlmodzxzldeplem3  31044  zlmodzxzldep  31046  ldepsnlinclem1  31047  ldepsnlinclem2  31048
  Copyright terms: Public domain W3C validator