MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Unicode version

Theorem zringbas 18278
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 10871 . 2  |-  ZZ  C_  CC
2 df-zring 18273 . . 3  |-ring  =  (flds  ZZ )
3 cnfldbas 18211 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
42, 3ressbas2 14545 . 2  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
51, 4ax-mp 5 1  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    C_ wss 3476   ` cfv 5587   CCcc 9489   ZZcz 10863   Basecbs 14489  ℂfldccnfld 18207  ℤringzring 18272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-cnfld 18208  df-zring 18273
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  18290  zringlpirlem1  18292  zringlpirlem3  18294  zringcyg  18296  zringinvg  18302  zringunit  18303  prmirredlem  18306  prmirred  18308  expghm  18312  mulgghm2  18314  mulgrhm  18315  mulgrhm2  18316  zlmlmod  18343  zlmassa  18344  chrrhm  18351  domnchr  18352  znlidl  18353  znbas  18365  znzrh2  18367  znzrhfo  18369  zndvds  18371  znf1o  18373  zzngim  18374  znfld  18382  znidomb  18383  znunit  18385  znrrg  18387  cygznlem3  18391  frgpcyg  18395  zrhpsgnodpm  18411  dchrzrhmul  23265  lgsqrlem1  23360  lgsqrlem2  23361  lgsqrlem3  23362  lgsdchr  23367  lgseisenlem3  23370  lgseisenlem4  23371  dchrisum0flblem1  23437  nmmulg  27601  cnzh  27603  rezh  27604  zrhf1ker  27608  zrhunitpreima  27611  elzrhunit  27612  qqhval2lem  27614  qqhf  27619  qqhghm  27621  qqhrhm  27622  qqhnm  27623  mzpmfp  30299  zlmodzxzel  32028  zlmodzxzscm  32030  linevalexample  32086  zlmodzxzldeplem3  32193  zlmodzxzldep  32195  ldepsnlinclem1  32196  ldepsnlinclem2  32197
  Copyright terms: Public domain W3C validator