MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Unicode version

Theorem zringbas 18987
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 10896 . 2  |-  ZZ  C_  CC
2 df-zring 18982 . . 3  |-ring  =  (flds  ZZ )
3 cnfldbas 18917 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
42, 3ressbas2 15123 . 2  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
51, 4ax-mp 5 1  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    C_ wss 3379   ` cfv 5544   CCcc 9488   ZZcz 10888   Basecbs 15064  ℂfldccnfld 18913  ℤringzring 18981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-cnfld 18914  df-zring 18982
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  18994  zringlpirlem1  18995  zringlpirlem3OLD  18997  zringlpirlem3  18999  zringcyg  19002  zringinvg  19003  zringunit  19004  prmirredlem  19006  prmirred  19008  expghm  19009  mulgghm2  19010  mulgrhm  19011  mulgrhm2  19012  zlmlmod  19036  zlmassa  19037  chrrhm  19044  domnchr  19045  znlidl  19046  znbas  19056  znzrh2  19058  znzrhfo  19060  zndvds  19062  znf1o  19064  zzngim  19065  znfld  19073  znidomb  19074  znunit  19076  znrrg  19078  cygznlem3  19082  frgpcyg  19086  zrhpsgnodpm  19102  dchrzrhmul  24116  lgsqrlem1  24211  lgsqrlem2  24212  lgsqrlem3  24213  lgsdchr  24218  lgseisenlem3  24221  lgseisenlem4  24222  dchrisum0flblem1  24288  mdetpmtr1  28601  mdetpmtr12  28603  mdetlap  28610  nmmulg  28724  cnzh  28726  rezh  28727  zrhf1ker  28731  zrhunitpreima  28734  elzrhunit  28735  qqhval2lem  28737  qqhf  28742  qqhghm  28744  qqhrhm  28745  qqhnm  28746  mzpmfp  35501  2zlidl  39525  zlmodzxzel  39729  zlmodzxzscm  39731  linevalexample  39781  zlmodzxzldeplem3  39888  zlmodzxzldep  39890  ldepsnlinclem1  39891  ldepsnlinclem2  39892
  Copyright terms: Public domain W3C validator