MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringbas Structured version   Unicode version

Theorem zringbas 17848
Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringbas  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )

Proof of Theorem zringbas
StepHypRef Expression
1 zsscn 10650 . 2  |-  ZZ  C_  CC
2 df-zring 17843 . . 3  |-ring  =  (flds  ZZ )
3 cnfldbas 17781 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
42, 3ressbas2 14225 . 2  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
51, 4ax-mp 5 1  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1364    C_ wss 3325   ` cfv 5415   CCcc 9276   ZZcz 10642   Basecbs 14170  ℂfldccnfld 17777  ℤringzring 17842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-cnfld 17778  df-zring 17843
This theorem is referenced by:  dvdsrzring  17860  zringlpirlem1  17862  zringlpirlem3  17864  zringcyg  17866  zringinvg  17872  zringunit  17873  prmirredlem  17876  prmirred  17878  expghm  17882  mulgghm2  17884  mulgrhm  17885  mulgrhm2  17886  zlmlmod  17913  zlmassa  17914  chrrhm  17921  domnchr  17922  znlidl  17923  znbas  17935  znzrh2  17937  znzrhfo  17939  zndvds  17941  znf1o  17943  zzngim  17944  znfld  17952  znidomb  17953  znunit  17955  znrrg  17957  cygznlem3  17961  frgpcyg  17965  zrhpsgnodpm  17981  dchrzrhmul  22544  lgsqrlem1  22639  lgsqrlem2  22640  lgsqrlem3  22641  lgsdchr  22646  lgseisenlem3  22649  lgseisenlem4  22650  dchrisum0flblem1  22716  nmmulg  26333  cnzh  26335  rezh  26336  zrhf1ker  26340  zrhunitpreima  26343  elzrhunit  26344  qqhval2lem  26346  qqhf  26351  qqhghm  26353  qqhrhm  26354  qqhnm  26355  mzpmfp  29008  zlmodzxzel  30669  zlmodzxzscm  30671  linevalexample  30741  zlmodzxzldeplem3  30885  zlmodzxzldep  30887  ldepsnlinclem1  30888  ldepsnlinclem2  30889
  Copyright terms: Public domain W3C validator