2zlidl - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2zlidl 41724

Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zlidl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)

**Assertion**
Ref	Expression
2zlidl	⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Distinct variable group: 𝑥,𝑧 Allowed substitution hints: 𝑈(𝑥,𝑧) 𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zlidl Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		ssrab2 3650	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3598	. 2 ⊢ 𝐸 ⊆ ℤ
4	1	0even 41721	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
5	4	ne0ii 3882	. 2 ⊢ 𝐸 ≠ ∅
6		eqeq1 2614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
7	6	rexbidv 3034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
8	7, 1	elrab2 3333	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐸 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
9		eqeq1 2614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
10	9	rexbidv 3034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
11	10, 1	elrab2 3333	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐸 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
12	8, 11	anbi12i 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))))
13		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑖 ∈ ℤ)
14		simprll 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑗 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
16		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
19	15, 18	zaddcld 11362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ)
20		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑎))
21	20	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑎)))
22	21	cbvrexv 3148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎))
23		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑏))
24	23	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑏)))
25	24	cbvrexv 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏))
26		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
27		simprll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
29	26, 28	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℤ)
30		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
31	29, 30	zaddcld 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) ∈ ℤ)
32		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
33	32	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
34	33	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑖 · (2 · 𝑎)))
35		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (2 · 𝑏))
36	34, 35	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
38		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) → (2 · 𝑥) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
39	37, 38	eqeqan12d 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) → (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏))))
40		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
42		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
43		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
45	44	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
47	41, 42, 46	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · (2 · 𝑎)) = (2 · (𝑖 · 𝑎)))
48	47	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
49	41, 46	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℂ)
50		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
51	50	ad4antr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	42, 49, 51	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
53	48, 52	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
54	31, 39, 53	rspcedvd 3289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
55	54	exp41 636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
56	55	rexlimiva 3010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
57	25, 56	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
58	57	impcom 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
59	58	expdcom 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
60	59	rexlimiva 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
61	22, 60	sylbi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
62	61	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
63	62	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
64	63	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
65		eqeq1 2614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
66	65	rexbidv 3034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
67	66, 1	elrab2 3333	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
68	19, 64, 67	sylanbrc 695	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
69	12, 68	sylan2b 491	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ 𝐸 ∧ 𝑘 ∈ 𝐸)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
70	69	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
71	70	rgen 2906	. 2 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸
72		2zlidl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘ℤ_ring)
73		zringbas 19643	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤ_ring)
74		zringplusg 19644	. . 3 ⊢ + = (+_g‘ℤ_ring)
75		zringmulr 19646	. . 3 ⊢ · = (._r‘ℤ_ring)
76	72, 73, 74, 75	islidl 19032	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑈 ↔ (𝐸 ⊆ ℤ ∧ 𝐸 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑘 ∈ 𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸))
77	3, 5, 71, 76	mpbir3an 1237	1 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑈

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 {crab 2900 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 0cc0 9815 + caddc 9818 · cmul 9820 2c2 10947 ℤcz 11254 LIdealclidl 18991 ℤ_ringzring 19637

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-fz 12198 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-sets 15701 df-ress 15702 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-sca 15784 df-vsca 15785 df-ip 15786 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-lss 18754 df-sra 18993 df-rgmod 18994 df-lidl 18995 df-cnfld 19568 df-zring 19638

This theorem is referenced by: 2zrng 41725

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