Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem1 42088
 Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 42091. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7765 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3 prex 4836 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2684 . . . 4 𝐵 ∈ V
54fsn2 6309 . . 3 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}))
6 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
76adantl 481 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 41925 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 473 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 2z 11286 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
13 4z 11288 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
148zlmodzxzel 41926 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1512, 13, 14mp2an 704 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
162, 15eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18 simpl 472 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
209simpri 477 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
21 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22 eqid 2610 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 41999 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
2411, 17, 18, 23syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
257, 24eqtrd 2644 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
26 eqid 2610 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27 eqid 2610 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 42080 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30 r19.26 3046 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31 zringbas 19643 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
3231eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘ℤring) = ℤ
3332eleq2i 2680 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3433biimpi 205 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
36 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐹𝐵) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
3736neeq1d 2841 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐵) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
3837rspcv 3278 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
3935, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4039com12 32 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4140adantl 481 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4230, 41sylbi 206 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4329, 42ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
4425, 43eqnetrd 2849 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
455, 44sylbi 206 . 2 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
461, 45syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  ℤcz 11254  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  -gcsg 17247  LModclmod 18686  ℤringzring 19637   freeLMod cfrlm 19909   linC clinc 41987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-linc 41989 This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42091
 Copyright terms: Public domain W3C validator