Theorem zringlpirlem3 19653

Description: Lemma for zringlpir 19656. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2		zringbas 19643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
4	2, 3	lidlss 19031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
6		zringlpirlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	5, 6	sseldd 3569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
8	7	zred 11358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9		inss2 3796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
10		zringlpirlem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
11		nnuz 11599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	sseqtri 3600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
13		zringlpirlem.n0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
14	1, 13	zringlpirlem1 19651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15		infssuzcl 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
16	12, 14, 15	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
17	10, 16	syl5eqel 2692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
18	9, 17	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 11746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
20		modlt 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
21	8, 19, 20	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
22	7, 18	zmodcld 12553	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
24	18	nnred 10912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
25	23, 24	ltnled 10063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
26	21, 25	mpbid 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
27	7	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	18	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
29	8, 18	nndivred 10946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
30	29	flcld 12461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
32	28, 31	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
33	27, 32	negsubd 10277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
34	30	znegcld 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
36	35, 28	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
37	28, 31	mulneg2d 10363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
38	36, 37	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
39	38	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40		modval 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
41	8, 19, 40	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
42	33, 39, 41	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43		zringring 19640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
45	1, 13, 10	zringlpirlem2 19652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)
46		zringmulr 19646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
47	3, 2, 46	lidlmcl 19038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
48	44, 1, 34, 45, 47	syl22anc 1319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49		zringplusg 19644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℤring)
50	3, 49	lidlacl 19034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
51	44, 1, 6, 48, 50	syl22anc 1319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
52	42, 51	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
55	53, 54	elind 3760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56		infssuzle 11647	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
57	12, 55, 56	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
58	10, 57	syl5eqbr 4618	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
59	26, 58	mtand 689	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60		elnn0 11171	. . . 4 ⊢ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
61	22, 60	sylib 207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62		orel1 396	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
63	59, 61, 62	sylc 63	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64		dvdsval3 14825	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
65	18, 7, 64	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
66	63, 65	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530   ∥ cdvds 14821  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991  ℤ_ringzring 19637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-cnfld 19568  df-zring 19638

This theorem is referenced by:  zringlpir  19656