MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcld 12461
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
flcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
flcld (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld
StepHypRef Expression
1 flcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 flcl 12458 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  cfv 5804  cr 9814  cz 11254  cfl 12453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455
This theorem is referenced by:  flge  12468  flwordi  12475  flword2  12476  fladdz  12488  flhalf  12493  fldiv4p1lem1div2  12498  fldiv4lem1div2uz2  12499  fldiv4lem1div2  12500  ceicl  12504  quoremz  12516  intfracq  12520  fldiv  12521  moddiffl  12543  moddifz  12544  zmodcl  12552  modadd1  12569  modmuladd  12574  modmul1  12585  modsubdir  12601  iexpcyc  12831  absrdbnd  13929  limsupgre  14060  climrlim2  14126  dvdsmod  14888  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  flodddiv4t2lthalf  14978  bitsp1  14991  bitsmod  14996  bitscmp  14998  bitsuz  15034  modgcd  15091  bezoutlem3  15096  isprm7  15258  hashdvds  15318  prmdiv  15328  odzdvds  15338  fldivp1  15439  pcfac  15441  pcbc  15442  prmreclem4  15461  vdwnnlem3  15539  mulgmodid  17404  odmod  17788  gexdvds  17822  zringlpirlem3  19653  zcld  22424  ovolunlem1a  23071  opnmbllem  23175  mbfi1fseqlem5  23292  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem3  23595  sineq0  24077  efif1olem2  24093  ppiltx  24703  dvdsflf1o  24713  ppiub  24729  fsumvma2  24739  logfac2  24742  chpchtsum  24744  pcbcctr  24801  bposlem1  24809  bposlem3  24811  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  gausslemma2dlem3  24893  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem5  24896  lgseisenlem4  24903  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2lgslem1  24919  2lgslem2  24920  chebbnd1lem2  24959  chebbnd1lem3  24960  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlema  24977  dchrisumlem3  24980  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0lem1  25005  rplogsum  25016  mulog2sumlem2  25024  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemg  25087  pntlemq  25090  pntlemr  25091  pntlemf  25094  ostth2lem2  25123  dya2ub  29659  dya2icoseg  29666  dnibndlem13  31650  knoppndvlem19  31691  ltflcei  32567  opnmbllem0  32615  itg2addnclem2  32632  cntotbnd  32765  irrapxlem1  36404  irrapxlem2  36405  irrapxlem3  36406  irrapxlem4  36407  pellexlem5  36415  pellfund14  36480  hashnzfz2  37542  hashnzfzclim  37543  sineq0ALT  38195  lefldiveq  38446  ltmod  38705  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem4  38999  fourierdlem4  39004  fourierdlem7  39007  fourierdlem19  39019  fourierdlem26  39026  fourierdlem41  39041  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem51  39050  fourierdlem63  39062  fourierdlem65  39064  fourierdlem71  39070  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  lighneallem2  40061  fldivmod  42107  modn0mul  42109  fllogbd  42152  fldivexpfllog2  42157  logbpw2m1  42159  fllog2  42160  nnpw2blen  42172  blen1b  42180  nnolog2flm1  42182  blennngt2o2  42184  blennn0e2  42186  digvalnn0  42191  dig2nn1st  42197  dig2nn0  42203  dig2bits  42206  dignn0flhalflem2  42208
  Copyright terms: Public domain W3C validator