Theorem nndivred 10946

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 10933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   / cdiv 10563  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898

This theorem is referenced by:  bcp1nk  12966  reeftcl  14644  efcllem  14647  eftlub  14678  eirrlem  14771  dvdsmod  14888  bitsfzo  14995  bitsmod  14996  bitscmp  14998  bitsuz  15034  bezoutlem3  15096  hashdvds  15318  prmdiv  15328  odzdvds  15338  pcfaclem  15440  pcfac  15441  pcbc  15442  pockthlem  15447  prmreclem4  15461  odmod  17788  zringlpirlem3  19653  prmirredlem  19660  lebnumii  22573  ovoliunlem1  23077  uniioombllem4  23160  dyadss  23168  dyaddisjlem  23169  dyadmaxlem  23171  opnmbllem  23175  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  aaliou3lem9  23909  taylthlem2  23932  advlogexp  24201  leibpilem2  24468  leibpi  24469  leibpisum  24470  birthdaylem3  24480  amgmlem  24516  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem4  24558  lgamgulmlem6  24560  lgamcvg2  24581  regamcl  24587  basellem4  24610  dvdsflf1o  24713  fsumfldivdiaglem  24715  logexprlim  24750  pcbcctr  24801  bcp1ctr  24804  bposlem2  24810  bposlem6  24814  lgseisenlem4  24903  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  chebbnd1lem3  24960  chtppilimlem1  24962  vmadivsum  24971  vmadivsumb  24972  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem1  24978  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  dchrvmasum2if  24986  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  rpvmasum2  25001  dchrisum0lem1  25005  dchrmusumlem  25011  dirith2  25017  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selbergb  25038  selberg2b  25041  logdivbnd  25045  selberg3lem1  25046  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd  25055  pntrsumbnd2  25056  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  pntsf  25062  pntsval2  25065  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntlemn  25089  pntlemj  25092  pntlemk  25095  pntlemo  25096  ostth2lem2  25123  subfacval2  30423  subfaclim  30424  cvmliftlem6  30526  cvmliftlem7  30527  cvmliftlem8  30528  cvmliftlem9  30529  cvmliftlem10  30530  faclimlem1  30882  faclimlem2  30883  faclim2  30887  poimirlem29  32608  opnmbllem0  32615  pellexlem2  36412  hashnzfz2  37542  hashnzfzclim  37543  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919  stoweidlem42  38935  stoweidlem59  38952  etransclem23  39150