MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 24560
Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11599 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11285 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 lgamgulm.u . . . . 5 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4 cnex 9896 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4rabex2 4742 . . . 4 𝑈 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
87, 3lgamgulmlem1 24555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
98ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
119, 10sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1211eldifad 3552 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 11746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 11765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1817relogcld 24173 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1918recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
2012, 19mulcld 9939 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
2113nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
2213nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
2312, 21, 22divcld 10680 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 1 ∈ ℂ)
2523, 24addcld 9938 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
2611, 13dmgmdivn0 24554 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2725, 26logcld 24121 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2820, 27subcld 10271 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
3028, 29fmptd 6292 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
314, 5elmap 7772 . . . . 5 ((𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈) ↔ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
3230, 31sylibr 223 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈))
33 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
3432, 33fmptd 6292 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
35 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
36 nnex 10903 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3736mptex 6390 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
3835, 37eqeltri 2684 . . . 4 𝑇 ∈ V
3938a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
407adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
4140nnred 10912 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
42 2re 10967 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
44 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
4541, 44readdcld 9948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
47 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4847nnsqcld 12891 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
4946, 48nndivred 10946 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
5041, 49remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
5147peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5251nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
5347nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5452, 53rpdivcld 11765 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5554relogcld 24173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
5641, 55remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
5740peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
5857nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5958, 53rpmulcld 11764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
6059relogcld 24173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
61 pire 24014 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
6360, 62readdcld 9948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
6456, 63readdcld 9948 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
6550, 64ifcld 4081 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
6665, 35fmptd 6292 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
6766ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
687, 3, 33, 35lgamgulmlem5 24559 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
697, 3, 33, 35lgamgulmlem4 24558 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
701, 2, 6, 34, 39, 67, 68, 69mtest 23962 . 2 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
71 1zzd 11285 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
725a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
7334adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
7438a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
7567adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
7668adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
7769adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
78 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂))
791, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78mtestbdd 23963 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
80 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑧abs
81 nffvmpt1 6111 . . . . . . . . 9 𝑧((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)
8280, 81nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦))
83 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑧
84 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑧𝑟
8582, 83, 84nfbr 4629 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
86 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑦(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
87 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦) = ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧))
8887fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)))
8988breq1d 4593 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
9085, 86, 89cbvral 3143 . . . . . 6 (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
91 ulmcl 23939 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9291adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
93 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑈𝑂) = (𝑧𝑈𝑂)
9493fmpt 6289 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9592, 94sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
9693fvmpt2 6200 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
9796fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
9897breq1d 4593 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9998ralimiaa 2935 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100 ralbi 3050 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10195, 99, 1003syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10290, 101syl5bb 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
103102rexbidv 3034 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10479, 103mpbid 221 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
105104ex 449 . 2 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10670, 105jca 553 1 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  𝑚 cmap 7744  cc 9813  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  seqcseq 12663  cexp 12722  abscabs 13822  cli 14063  πcpi 14636  𝑢culm 23934  logclog 24105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-cxp 24108
This theorem is referenced by:  lgamgulm  24561  lgambdd  24563
  Copyright terms: Public domain W3C validator