MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbc 15442
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝐾

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 nnnn0 11176 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 faccl 12932 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
65nnzd 11357 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
75nnne0d 10942 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ≠ 0)
8 fznn0sub 12244 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
10 faccl 12932 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
12 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
13123ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
14 faccl 12932 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1611, 15nnmulcld 10945 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
17 pcdiv 15395 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1323 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
19 bcval2 12954 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
20193ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2120oveq2d 6565 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
22 fzfid 12634 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
23 nnre 10904 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 simpl3 1059 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
27 prmnn 15226 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
29 elfznn 12241 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3130adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3228, 31nnexpcld 12892 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
3325, 32nndivred 10946 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
3433flcld 12461 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3534zcnd 11359 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
3613nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3724, 36resubcld 10337 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3938, 32nndivred 10946 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
4039flcld 12461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
4140zcnd 11359 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
4236adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
4342, 32nndivred 10946 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
4443flcld 12461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
4544zcnd 11359 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
4641, 45addcld 9938 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℂ)
4722, 35, 46fsumsub 14362 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
483nn0zd 11356 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 uzid 11578 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
51 pcfac 15441 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
523, 50, 1, 51syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
5313nn0ge0d 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐾)
5424, 36subge02d 10498 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5553, 54mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
5613nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℤ)
5748, 56zsubcld 11363 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
58 eluz 11577 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5957, 48, 58syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
6055, 59mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)))
61 pcfac 15441 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
629, 60, 1, 61syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
63 elfzuz3 12210 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
64633ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
65 pcfac 15441 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6613, 64, 1, 65syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6762, 66oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
6811nnzd 11357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
6911nnne0d 10942 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0)
7015nnzd 11357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℤ)
7115nnne0d 10942 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ≠ 0)
72 pcmul 15394 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐾) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
7422, 41, 45fsumadd 14317 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7567, 73, 743eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7652, 75oveq12d 6567 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
7747, 76eqtr4d 2647 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
7818, 21, 773eqtr4d 2654 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cfl 12453  cexp 12722  !cfa 12922  Ccbc 12951  Σcsu 14264  cprime 15223   pCnt cpc 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380
This theorem is referenced by:  pcbcctr  24801
  Copyright terms: Public domain W3C validator