Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbc 15442
 Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝐾

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 nnnn0 11176 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 faccl 12932 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
65nnzd 11357 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
75nnne0d 10942 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ≠ 0)
8 fznn0sub 12244 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
10 faccl 12932 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
12 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
13123ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
14 faccl 12932 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1611, 15nnmulcld 10945 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
17 pcdiv 15395 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1323 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
19 bcval2 12954 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
20193ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2120oveq2d 6565 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
22 fzfid 12634 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
23 nnre 10904 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 simpl3 1059 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
27 prmnn 15226 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
29 elfznn 12241 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3130adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3228, 31nnexpcld 12892 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
3325, 32nndivred 10946 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
3433flcld 12461 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3534zcnd 11359 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
3613nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3724, 36resubcld 10337 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3938, 32nndivred 10946 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
4039flcld 12461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
4140zcnd 11359 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
4236adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
4342, 32nndivred 10946 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
4443flcld 12461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
4544zcnd 11359 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
4641, 45addcld 9938 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℂ)
4722, 35, 46fsumsub 14362 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
483nn0zd 11356 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 uzid 11578 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
51 pcfac 15441 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
523, 50, 1, 51syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
5313nn0ge0d 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐾)
5424, 36subge02d 10498 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5553, 54mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
5613nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℤ)
5748, 56zsubcld 11363 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
58 eluz 11577 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5957, 48, 58syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
6055, 59mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)))
61 pcfac 15441 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
629, 60, 1, 61syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
63 elfzuz3 12210 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
64633ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
65 pcfac 15441 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6613, 64, 1, 65syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6762, 66oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
6811nnzd 11357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
6911nnne0d 10942 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0)
7015nnzd 11357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℤ)
7115nnne0d 10942 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ≠ 0)
72 pcmul 15394 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐾) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
7422, 41, 45fsumadd 14317 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7567, 73, 743eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7652, 75oveq12d 6567 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
7747, 76eqtr4d 2647 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
7818, 21, 773eqtr4d 2654 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  !cfa 12922  Ccbc 12951  Σcsu 14264  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380 This theorem is referenced by:  pcbcctr  24801
 Copyright terms: Public domain W3C validator