Theorem elfznn0 12302

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12300	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1069	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  12304  fz0fzdiffz0  12317  difelfzle  12321  fzo0ssnn0OLD  12416  bcrpcl  12957  bccmpl  12958  bcp1n  12965  bcp1nk  12966  bcval5  12967  permnn  12975  swrd0len  13274  swrd0f  13279  swrd0fv  13291  swrd0swrd  13313  swrdswrd0  13314  swrd0swrd0  13315  swrd0swrdid  13316  wrdcctswrd  13317  swrdccat3  13343  swrdccat3a  13345  swrdccat3blem  13346  splfv2a  13358  2cshwcshw  13422  cshwcsh2id  13425  binomlem  14400  binom1p  14402  binom1dif  14404  bcxmas  14406  climcnds  14422  arisum  14431  arisum2  14432  pwm1geoser  14439  geolim  14440  geo2sum  14443  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  mertens  14457  risefacval2  14580  fallfacval2  14581  fallfacval3  14582  risefaccllem  14583  fallfaccllem  14584  risefacp1  14599  fallfacp1  14600  fallfacfwd  14606  binomfallfaclem1  14609  binomfallfaclem2  14610  binomrisefac  14612  bcfallfac  14614  bpolylem  14618  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  bpoly4  14629  efcvgfsum  14655  efcj  14661  efaddlem  14662  effsumlt  14680  eirrlem  14771  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  pwp1fsum  14952  prmdiveq  15329  hashgcdlem  15331  pcbc  15442  vdwapf  15514  vdwlem2  15524  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530  psgnunilem2  17738  efgcpbllemb  17991  srgbinomlem3  18365  srgbinomlem4  18366  srgbinomlem  18367  coe1mul2  19460  coe1tmmul2  19467  coe1tmmul  19468  cply1mul  19485  gsummoncoe1  19495  m2pmfzgsumcl  20372  decpmatmul  20396  pmatcollpw3fi1lem1  20410  mp2pm2mplem4  20433  pm2mpmhmlem2  20443  chpscmatgsumbin  20468  chpscmatgsummon  20469  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulgsum  20488  cpmadugsumlemB  20498  cpmadugsumlemC  20499  cpmadugsumlemF  20500  cpmadugsumfi  20501  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  itg0  23352  itgz  23353  itgcl  23356  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgsplit  23408  dvn2bss  23499  coe1mul3  23663  elply2  23756  plyf  23758  elplyd  23762  ply1termlem  23763  plyeq0lem  23770  plypf1  23772  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  plyaddlem  23775  plymullem  23776  coeeulem  23784  coeidlem  23797  coeid3  23800  plyco  23801  coeeq2  23802  dgreq  23804  coefv0  23808  coeaddlem  23809  coemullem  23810  coemulhi  23814  coemulc  23815  coe1termlem  23818  plycn  23821  plycjlem  23836  plycj  23837  plyrecj  23839  dvply1  23843  dvply2g  23844  vieta1lem2  23870  elqaalem2  23879  elqaalem3  23880  aareccl  23885  aalioulem1  23891  taylply2  23926  taylply  23927  dvtaylp  23928  dvntaylp0  23930  taylthlem2  23932  pserulm  23980  psercn2  23981  pserdvlem2  23986  abelthlem6  23994  abelthlem7  23996  abelthlem8  23997  advlogexp  24201  cxpeq  24298  log2tlbnd  24472  log2ublem2  24474  log2ub  24476  birthdaylem2  24479  birthdaylem3  24480  ftalem1  24599  ftalem5  24603  basellem2  24608  basellem3  24609  dvdsppwf1o  24712  musum  24717  sgmppw  24722  1sgmprm  24724  logexprlim  24750  mersenne  24752  lgseisenlem1  24900  dchrisum0flblem1  24997  pntpbnd2  25076  eupares  26502  bcm1n  28941  plymulx0  29950  signsplypnf  29953  signstres  29978  subfacval2  30423  subfaclim  30424  cvmliftlem7  30527  bccolsum  30878  knoppcnlem7  31659  knoppcnlem8  31660  knoppndvlem5  31677  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem12  32591  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem28  32607  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  iblmulc2nc  32645  jm2.22  36580  jm2.23  36581  hbt  36719  cnsrplycl  36756  bcc0  37561  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemfrat  37572  binomcxplemradcnv  37573  dvnmptdivc  38828  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  dvnprodlem3  38838  iblsplit  38858  elaa2lem  39126  etransclem2  39129  etransclem23  39150  etransclem28  39155  etransclem29  39156  etransclem32  39159  etransclem33  39160  etransclem35  39162  etransclem38  39165  etransclem39  39166  etransclem43  39170  etransclem44  39171  etransclem45  39172  etransclem46  39173  etransclem47  39174  etransclem48  39175  fmtnorec2lem  39992  fmtnodvds  39994  fmtnorec3  39998  pwdif  40039  lighneallem3  40062  lighneallem4b  40064  lighneallem4  40065  pfxmpt  40250  pfxlen  40254  addlenpfx  40261  pfxfv  40262  pfxswrd  40276  swrdpfx  40277  pfxpfx  40278  pfxpfxid  40279  pfxccat3  40289  pfxccatpfx1  40290  pfxccat3a  40292  repswpfx  40299  pfxco  40301  2elfz3nn0  40353  fz0addcom  40354  2elfz2melfz  40355  fz0addge0  40356  crctcsh1wlkn0  41024  altgsumbc  41923  altgsumbcALT  41924  ply1mulgsumlem2  41969  ply1mulgsum  41972  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  aacllem  42356