MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycj 23837
Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
plycj (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plycj.1 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 plycj.2 . . . . 5 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4 eqid 2610 . . . . 5 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
52, 3, 4plycjlem 23836 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
7 plybss 23754 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
9 0cnd 9912 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
109snssd 4281 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
118, 10unssd 3751 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12 dgrcl 23793 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
142, 13syl5eqel 2692 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
154coef 23790 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
17 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 fvco3 6185 . . . . . 6 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
1916, 17, 18syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
20 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2116, 17, 20syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
22 plycj.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
2322ralrimiva 2949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
24 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
2524eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2625rspccv 3279 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2723, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
28 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
2928fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
30 cj0 13746 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘0) = 0
3129, 30syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
32 fvex 6113 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
3332elsn 4140 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
3431, 33sylibr 223 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3627, 35orim12d 879 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
37 elun 3715 . . . . . . . 8 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
38 elun 3715 . . . . . . . 8 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3936, 37, 383imtr4g 284 . . . . . . 7 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4121, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4219, 41eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4311, 14, 42elplyd 23762 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
446, 43eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
45 plyun0 23757 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4644, 45syl6eleq 2698 1 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cun 3538  wss 3540  {csn 4125  cmpt 4643  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  0cn0 11169  ...cfz 12197  cexp 12722  ccj 13684  Σcsu 14264  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751
This theorem is referenced by:  coecj  23838
  Copyright terms: Public domain W3C validator