Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem8 15530
 Description: Lemma for vdw 15536. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem8.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem8.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
vdwlem8.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem8.f (𝜑𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅)
vdwlem8.c 𝐶 ∈ V
vdwlem8.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem8.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vdwlem8.s (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
vdwlem8.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
vdwlem8 (𝜑 → ⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem vdwlem8
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem8.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 vdwlem8.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
43nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
52, 4addcomd 10117 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐴))
65oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) = (𝑊 − (𝐷 + 𝐴)))
7 vdwlem8.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
87nncnd 10913 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
98, 4, 2subsub4d 10302 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊𝐷) − 𝐴) = (𝑊 − (𝐷 + 𝐴)))
106, 9eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) = ((𝑊𝐷) − 𝐴))
1110oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐴) + ((𝑊𝐷) − 𝐴)))
128, 4subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐷) ∈ ℂ)
132, 2, 12ppncand 10311 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + ((𝑊𝐷) − 𝐴)) = (𝐴 + (𝑊𝐷)))
1411, 13eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝑊𝐷)))
151, 1nnaddcld 10944 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℕ)
16 vdwlem8.s . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
17 cnvimass 5404 . . . . . . . . 9 (𝐺 “ {𝐶}) ⊆ dom 𝐺
18 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) ∈ V
19 vdwlem8.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)))
2018, 19dmmpti 5936 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = (1...𝑊)
2117, 20sseqtri 3600 . . . . . . . 8 (𝐺 “ {𝐶}) ⊆ (1...𝑊)
2216, 21syl6ss 3580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (1...𝑊))
23 ssun2 3739 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷) ⊆ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
24 vdwlem8.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
25 uz2m1nn 11639 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
271, 3nnaddcld 10944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
28 vdwapid1 15517 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
2926, 27, 3, 28syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷))
3023, 29sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
31 eluz2nn 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3332nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
35 npcan 10169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3633, 34, 35sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3736fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (AP‘((𝐾 − 1) + 1)) = (AP‘𝐾))
3837oveqd 6566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
3926nnnn0d 11228 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
40 vdwapun 15516 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 − 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4139, 1, 3, 40syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(AP‘((𝐾 − 1) + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4238, 41eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘(𝐾 − 1))𝐷)))
4330, 42eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
4422, 43sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑊))
45 elfzuz3 12210 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐷) ∈ (1...𝑊) → 𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)))
46 uznn0sub 11595 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 𝐷)) → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
4744, 45, 463syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
48 nnnn0addcl 11200 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑊 − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
4915, 47, 48syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝑊 − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
5014, 49eqeltrrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + (𝑊𝐷)) ∈ ℕ)
51 1nn 10908 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
52 f1osng 6089 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷})
5351, 3, 52sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷})
54 f1of 6050 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝐷⟩}:{1}–1-1-onto→{𝐷} → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶{𝐷})
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶{𝐷})
563snssd 4281 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐷} ⊆ ℕ)
5755, 56fssd 5970 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶ℕ)
58 1z 11284 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
59 fzsn 12254 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
6058, 59ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
6160feq2i 5950 . . . . 5 ({⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ ↔ {⟨1, 𝐷⟩}:{1}⟶ℕ)
6257, 61sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ)
63 nnex 10903 . . . . 5 ℕ ∈ V
64 ovex 6577 . . . . 5 (1...1) ∈ V
6563, 64elmap 7772 . . . 4 ({⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)) ↔ {⟨1, 𝐷⟩}:(1...1)⟶ℕ)
6662, 65sylibr 223 . . 3 (𝜑 → {⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)))
671, 7nnaddcld 10944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ)
69 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
703nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
71 nn0mulcl 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0)
7269, 70, 71syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0)
73 nnnn0addcl 11200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝐷) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ ℕ)
7468, 72, 73syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ ℕ)
75 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
7674, 75syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (ℤ‘1))
7716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐺 “ {𝐶}))
78 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))
79 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝐷) = (𝑚 · 𝐷))
8079oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
8180eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
8281rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))
8378, 82mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))
8432nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
85 vdwapval 15515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
8684, 1, 3, 85syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
8786biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
8883, 87sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
8977, 88sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}))
9018, 19fnmpti 5935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 Fn (1...𝑊)
91 fniniseg 6246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 Fn (1...𝑊) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)))
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
9389, 92sylib 207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
9493simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊))
95 elfzuz3 12210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) → 𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
96 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ ℤ)
97 eluzadd 11592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9896, 97mpdan 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (ℤ‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
9994, 95, 983syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑊 + 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
10082timesd 11152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑊) = (𝑊 + 𝑊))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (2 · 𝑊) = (𝑊 + 𝑊))
1022adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
1038adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑊 ∈ ℂ)
10472nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℂ)
105102, 103, 104add32d 10142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) = ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊))
106105fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = (ℤ‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
10799, 101, 1063eltr4d 2703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (2 · 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
108 elfzuzb 12207 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ↔ (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (ℤ‘1) ∧ (2 · 𝑊) ∈ (ℤ‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)))))
10976, 107, 108sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)))
110105fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
111 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 + 𝑊) = ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊))
112111fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
113 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)) ∈ V
114112, 19, 113fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...𝑊) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
11594, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) + 𝑊)))
11693simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)
117110, 115, 1163eqtr2d 2650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)
118109, 117jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
119 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ↔ ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊))))
120 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
121120eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶))
122119, 121anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶) ↔ (((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹‘((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))) = 𝐶)))
123118, 122syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
124123rexlimdva 3013 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
125 vdwapval 15515 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
12684, 67, 3, 125syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝑊) + (𝑚 · 𝐷))))
127 vdwlem8.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅)
128 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝐹:(1...(2 · 𝑊))⟶𝑅𝐹 Fn (1...(2 · 𝑊)))
129 fniniseg 6246 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn (1...(2 · 𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
130127, 128, 1293syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ (1...(2 · 𝑊)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝐶)))
131124, 126, 1303imtr4d 282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐶})))
132131ssrdv 3574 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷) ⊆ (𝐹 “ {𝐶}))
133 fvsng 6352 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ({⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
13451, 3, 133sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨1, 𝐷⟩}‘1) = 𝐷)
135134oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + 𝐷))
1362, 12, 4addassd 9941 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + 𝐷) = (𝐴 + ((𝑊𝐷) + 𝐷)))
1378, 4npcand 10275 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑊𝐷) + 𝐷) = 𝑊)
138137oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑊𝐷) + 𝐷)) = (𝐴 + 𝑊))
139135, 136, 1383eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = (𝐴 + 𝑊))
140139, 134oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) = ((𝐴 + 𝑊)(AP‘𝐾)𝐷))
141139fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
142 vdwapid1 15517 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
14332, 1, 3, 142syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷))
14416, 143sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}))
145 fniniseg 6246 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶)))
14690, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐺 “ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶))
147144, 146sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐺𝐴) = 𝐶))
148147simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
149 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑊) = (𝐴 + 𝑊))
150149fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑊)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
151 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)) ∈ V
152150, 19, 151fvmpt 6191 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (1...𝑊) → (𝐺𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
153148, 152syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑊)))
154147simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) = 𝐶)
155141, 153, 1543eqtr2d 2650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))) = 𝐶)
156155sneqd 4137 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))} = {𝐶})
157156imaeq2d 5385 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) = (𝐹 “ {𝐶}))
158132, 140, 1573sstr4d 3611 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
159158ralrimivw 2950 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
160155mpteq2dv 4673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ 𝐶))
161 fconstmpt 5085 . . . . . . . 8 ((1...1) × {𝐶}) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ 𝐶)
162160, 161syl6eqr 2662 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = ((1...1) × {𝐶}))
163162rneqd 5274 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = ran ((1...1) × {𝐶}))
164 elfz3 12222 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (1...1))
165 ne0i 3880 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1...1) → (1...1) ≠ ∅)
16658, 164, 165mp2b 10 . . . . . . 7 (1...1) ≠ ∅
167 rnxp 5483 . . . . . . 7 ((1...1) ≠ ∅ → ran ((1...1) × {𝐶}) = {𝐶})
168166, 167ax-mp 5 . . . . . 6 ran ((1...1) × {𝐶}) = {𝐶}
169163, 168syl6eq 2660 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))) = {𝐶})
170169fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = (#‘{𝐶}))
171 vdwlem8.c . . . . 5 𝐶 ∈ V
172 hashsng 13020 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (#‘{𝐶}) = 1)
173171, 172ax-mp 5 . . . 4 (#‘{𝐶}) = 1
174170, 173syl6eq 2660 . . 3 (𝜑 → (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)
175 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝑎 + (𝑑𝑖)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))
176175oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) = (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)))
177175fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))
178177sneqd 4137 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))} = {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})
179178imaeq2d 5385 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}))
180176, 179sseq12d 3597 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ↔ (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})))
181180ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))})))
182177mpteq2dv 4673 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))))
183182rneqd 5274 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))))
184183fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))))
185184eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1 ↔ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1))
186181, 185anbi12d 743 . . . 4 (𝑎 = (𝐴 + (𝑊𝐷)) → ((∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1)))
187 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (𝑑𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘𝑖))
188 elfz1eq 12223 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...1) → 𝑖 = 1)
189188fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐷⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))
190187, 189sylan9eq 2664 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝑑𝑖) = ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))
191190oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)) = ((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
192191, 190oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) = (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))
193191fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))) = (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))
194193sneqd 4137 . . . . . . . 8 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))} = {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})
195194imaeq2d 5385 . . . . . . 7 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}))
196192, 195sseq12d 3597 . . . . . 6 ((𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...1)) → ((((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ↔ (((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})))
197196ralbidva 2968 . . . . 5 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))})))
198193mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))) = (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))))
199198rneqd 5274 . . . . . . 7 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))) = ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))))
200199fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))))
201200eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ((#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1 ↔ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1))
202197, 201anbi12d 743 . . . 4 (𝑑 = {⟨1, 𝐷⟩} → ((∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + (𝑑𝑖))))) = 1) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)))
203186, 202rspc2ev 3295 . . 3 (((𝐴 + (𝑊𝐷)) ∈ ℕ ∧ {⟨1, 𝐷⟩} ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...1)(((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))(AP‘𝐾)({⟨1, 𝐷⟩}‘1)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘((𝐴 + (𝑊𝐷)) + ({⟨1, 𝐷⟩}‘1))))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1))
20450, 66, 159, 174, 203syl112anc 1322 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1))
205 ovex 6577 . . 3 (1...(2 · 𝑊)) ∈ V
20651a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
207 eqid 2610 . . 3 (1...1) = (1...1)
208205, 84, 127, 206, 207vdwpc 15522 . 2 (𝜑 → (⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ (ℕ ↑𝑚 (1...1))(∀𝑖 ∈ (1...1)((𝑎 + (𝑑𝑖))(AP‘𝐾)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖)))}) ∧ (#‘ran (𝑖 ∈ (1...1) ↦ (𝐹‘(𝑎 + (𝑑𝑖))))) = 1)))
209204, 208mpbird 246 1 (𝜑 → ⟨1, 𝐾⟩ PolyAP 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979  APcvdwa 15507   PolyAP cvdwp 15509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vdwap 15510  df-vdwpc 15512 This theorem is referenced by:  vdwlem10  15532
 Copyright terms: Public domain W3C validator