Theorem abelthlem6 23994

Description: Lemma for abelth 23999. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
abelth.7	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem6	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelthlem6.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
2	1	eldifad 3552	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
4	3	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
5	4	sumeq2sdv 14282	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
6		abelth.6	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
7		sumex 14266	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6191	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
10		nn0uz 11598	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11		0zd 11266	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑛))
13		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑛))
14	12, 13	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
15		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
16		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
19		abelth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
20	19	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
21		abelth.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22		ssrab2 3650	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
23	21, 22	eqsstri 3598	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
24	23, 2	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		expcl 12740	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
26	24, 25	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑛) ∈ ℂ)
27	20, 26	mulcld 9939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
28		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
29	28, 13	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
30		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
31		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
34	10, 11, 20	serf 12691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
35	34	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
36	35, 26	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
37		abelth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
38		abelth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
39		abelth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
40	19, 37, 38, 39, 21	abelthlem2 23990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
41	40	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
42	41, 1	sseldd 3569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
43		abelth.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
44	19, 37, 38, 39, 21, 6, 43	abelthlem5 23993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
45	42, 44	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
46	10, 11, 33, 36, 45	isumclim2 14331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
47		seqex 12665	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V)
49		0nn0 11184	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
52	51	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
53	52	sumeq1d 14279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚))
54		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑𝑖))
55	53, 54	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
56		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))
57		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
58	55, 56, 57	fvmpt 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)))
60		fzfid 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
61	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
62		elfznn0 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
63		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
64	61, 62, 63	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
65	60, 64	fsumcl 14311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
66		expcl 12740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
67	24, 66	sylan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑖) ∈ ℂ)
68	65, 67	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
69	59, 68	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
70	11	peano2zd 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
71		nnuz 11599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
72		1e0p1 11428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0 + 1)
73	72	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
74	71, 73	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
75	74	eleq2i 2680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
76		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
78		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
79		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
80	78, 79	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
81	80	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
82		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
83		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
84	81, 82, 83	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
85	77, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
86		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
89		nn0ex 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
90	89	mptex 6390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ∈ V
91	90	shftval 13662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
92	86, 88, 91	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
93		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
94	77, 10	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
95	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
96		elfznn0 12302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
97	95, 96, 63	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
98	93, 94, 97	fsumser 14308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
99		expm1t 12750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
100	24, 99	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
101	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
102		expcl 12740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
103	24, 76, 102	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
104	101, 103	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
105	100, 104	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
106	98, 105	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
107		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
110	109	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
111	110	sumeq1d 14279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚))
112	111, 13	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
113		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ V
114	112, 56, 113	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
115	108, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
116		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
117	34, 76, 116	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
118	101, 117, 103	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119	106, 115, 118	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
120	85, 92, 119	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
121	75, 120	sylan2br 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛))
122	70, 121	seqfeq 12688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))))
123		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
124	123, 54	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
125		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ V
126	124, 30, 125	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)))
128	34	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
129	128, 67	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖)) ∈ ℂ)
130	127, 129	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
131	124	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
132		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))) ∈ V
133	131, 82, 132	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
135	127	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋↑𝑖))))
136	134, 135	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑖)))
137	10, 11, 24, 46, 130, 136	isermulc2 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
138		0z 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
139		1z 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
140	90	isershft 14242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
141	138, 139, 140	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
142	137, 141	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
143	122, 142	eqbrtrrd 4607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
144	10, 50, 69, 143	clim2ser2 14234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)))
145		seq1 12676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0))
146	138, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0)
147		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
148	147	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
149		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
150		ltm1 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 − 1) < 0
152		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
153	138, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
154		fzn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
155	138, 153, 154	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
156	151, 155	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
157	148, 156	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
158	157	sumeq1d 14279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚))
159		sum0 14299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴‘𝑚) = 0
160	158, 159	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) = 0)
161		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑0))
162	160, 161	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
163		ovex 6577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
164	162, 56, 163	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
165	49, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
166	146, 165	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
167		expcl 12740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
168	24, 49, 167	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
169	168	mul02d 10113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
170	166, 169	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0) = 0)
171	170	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0))
172	10, 11, 33, 36, 45	isumcl 14334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
173	24, 172	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) ∈ ℂ)
174	173	addid1d 10115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
175	171, 174	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
176	144, 175	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
177	10, 11, 130	serf 12691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
178	177	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
179	10, 11, 69	serf 12691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
180	179	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
181		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182	181, 10	syl6eleq 2698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
183		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
184		elfznn0 12302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
185	33, 36	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186	183, 184, 185	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187	114	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)))
188		fzfid 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
189	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
190	189, 96, 63	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
191	188, 190	fsumcl 14311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
192	191, 26	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛)) ∈ ℂ)
193	187, 192	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
194	183, 184, 193	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
195		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
196		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
197	196, 10	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
198		elfznn0 12302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
199	189, 198, 63	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
200	195, 197, 199	fsumser 14308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
201		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
202	197, 199, 201	fsumm1 14324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴‘𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
203	200, 202	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)))
204	203	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
205	191, 20	pncan2d 10273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) + (𝐴‘𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) = (𝐴‘𝑛))
206	204, 205	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)))
207	206	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)))
208	35, 191, 26	subdird 10366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚)) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
209	207, 208	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
210	33, 187	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑛))))
211	209, 18, 210	3eqtr4d 2654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
212	183, 184, 211	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘)))‘𝑛)))
213	182, 186, 194, 212	sersub 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴‘𝑚) · (𝑋↑𝑘))))‘𝑖)))
214	10, 11, 46, 48, 176, 178, 180, 213	climsub 14212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
215		1cnd 9935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
216	215, 24, 172	subdird 10366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
217	172	mulid2d 9937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))
218	217	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
219	216, 218	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)))))
220	214, 219	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
221	10, 11, 18, 27, 220	isumclim 14330	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑋↑𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))
222	9, 221	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋↑𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ↑cexp 12722   shift cshi 13654  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  ballcbl 19554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562

This theorem is referenced by:  abelthlem7  23996