Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem permnn 12975
 Description: The number of permutations of 𝑁 − 𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12302 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
2 faccl 12932 . . 3 (𝑅 ∈ ℕ0 → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
4 fznn0sub 12244 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑅) ∈ ℕ0)
5 faccl 12932 . . . 4 ((𝑁𝑅) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℕ)
76, 3nnmulcld 10945 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
8 elfz3nn0 12303 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 faccl 12932 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
109nncnd 10913 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
118, 10syl 17 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
126nncnd 10913 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
133nncnd 10913 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
14 facne0 12935 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℕ0 → (!‘𝑅) ≠ 0)
151, 14syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ≠ 0)
1612, 13, 15divcan4d 10686 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁𝑅)))
1716, 6eqeltrd 2688 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
18 bcval2 12954 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))))
19 bccl2 12972 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
2018, 19eqeltrrd 2689 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
21 nndivtr 10939 . 2 ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
223, 7, 11, 17, 20, 21syl32anc 1326 1 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  !cfa 12922  Ccbc 12951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952 This theorem is referenced by:  eirrlem  14771  etransclem3  39130  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem24  39151  etransclem27  39154
 Copyright terms: Public domain W3C validator