MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan4d 10686
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan4d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan4 10591 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1318 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564
This theorem is referenced by:  mvllmuld  10736  mulge0b  10772  ltmuldiv  10775  rimul  10888  mul2lt0rlt0  11808  mulmod0  12538  2txmodxeq0  12592  expaddzlem  12765  mulsubdivbinom2  12908  facdiv  12936  permnn  12975  cjdiv  13752  sqrtdiv  13854  absdiv  13883  sqreulem  13947  gcddiv  15106  divgcdcoprm0  15217  hashgcdlem  15331  sylow2blem3  17860  cnflddiv  19595  cnsubrg  19625  i1fmullem  23267  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem6  23293  dvsincos  23548  ftc1lem4  23606  vieta1lem2  23870  aaliou3lem9  23909  root1eq1  24296  nnlogbexp  24319  relogbcxp  24323  lawcoslem1  24345  chordthmlem2  24360  chordthmlem4  24362  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dquartlem1  24378  efiatan2  24444  tanatan  24446  regamcl  24587  basellem3  24609  bclbnd  24805  gausslemma2dlem3  24893  2lgslem1a2  24915  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  2sqlem3  24945  vmadivsum  24971  dchrmusum2  24983  dchrmusumlem  25011  vmalogdivsum  25028  selberg3lem1  25046  pntrlog2bndlem4  25069  pntlemb  25086  normcan  27819  dya2icoseg  29666  bayesth  29828  signsplypnf  29953  bj-ldiv  32332  bj-bary1lem  32337  ftc1cnnclem  32653  dvasin  32666  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  proot1ex  36798  divcan8d  38468  wallispilem5  38962  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem15  38981  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem4  38999  fourierdlem6  39006  fourierdlem19  39019  fourierdlem26  39026  fourierdlem39  39039  fourierdlem42  39042  fourierdlem63  39062  fourierdlem65  39064  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  2zrngnmlid  41739  mvlrmuld  42331
  Copyright terms: Public domain W3C validator