MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Unicode version

Theorem permnn 12358
Description: The number of permutations of  N  -  R objects from a collection of  N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11743 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  R  e.  NN0 )
2 faccl 12317 . . 3  |-  ( R  e.  NN0  ->  ( ! `
 R )  e.  NN )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  NN )
4 fznn0sub 11688 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  R )  e.  NN0 )
5 faccl 12317 . . . 4  |-  ( ( N  -  R )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  R ) )  e.  NN )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  NN )
76, 3nnmulcld 10544 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
8 elfz3nn0 11744 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
9 faccl 12317 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
109nncnd 10512 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
118, 10syl 17 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
126nncnd 10512 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  CC )
133nncnd 10512 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  CC )
14 facne0 12318 . . . . 5  |-  ( R  e.  NN0  ->  ( ! `
 R )  =/=  0 )
151, 14syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  =/=  0 )
1612, 13, 15divcan4d 10287 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  =  ( ! `  ( N  -  R
) ) )
1716, 6eqeltrd 2490 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
18 bcval2 12337 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) ) )
19 bccl2 12355 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  e.  NN )
2018, 19eqeltrrd 2491 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) ) )  e.  NN )
21 nndivtr 10538 . 2  |-  ( ( ( ( ! `  R )  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) )  / 
( ! `  R
) )  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  R ) )  e.  NN )
223, 7, 11, 17, 20, 21syl32anc 1238 1  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   0cc0 9442    x. cmul 9447    - cmin 9761    / cdiv 10167   NNcn 10496   NN0cn0 10756   ...cfz 11643   !cfa 12307    _C cbc 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-seq 12062  df-fac 12308  df-bc 12335
This theorem is referenced by:  eirrlem  14038  etransclem3  37370  etransclem7  37374  etransclem10  37377  etransclem24  37391  etransclem27  37394
  Copyright terms: Public domain W3C validator