MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Unicode version

Theorem permnn 12212
Description: The number of permutations of  N  -  R objects from a collection of  N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11591 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  R  e.  NN0 )
2 faccl 12171 . . 3  |-  ( R  e.  NN0  ->  ( ! `
 R )  e.  NN )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  NN )
4 fznn0sub 11597 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  R )  e.  NN0 )
5 faccl 12171 . . . 4  |-  ( ( N  -  R )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  R ) )  e.  NN )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  NN )
76, 3nnmulcld 10473 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
8 elfz3nn0 11592 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
9 faccl 12171 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
109nncnd 10442 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
118, 10syl 16 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
126nncnd 10442 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  CC )
133nncnd 10442 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  CC )
14 facne0 12172 . . . . 5  |-  ( R  e.  NN0  ->  ( ! `
 R )  =/=  0 )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  =/=  0 )
1612, 13, 15divcan4d 10217 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  =  ( ! `  ( N  -  R
) ) )
1716, 6eqeltrd 2539 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
18 bcval2 12191 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) ) )
19 bccl2 12209 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  e.  NN )
2018, 19eqeltrrd 2540 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) ) )  e.  NN )
21 nndivtr 10467 . 2  |-  ( ( ( ( ! `  R )  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) )  / 
( ! `  R
) )  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  R ) )  e.  NN )
223, 7, 11, 17, 20, 21syl32anc 1227 1  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2644   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386    x. cmul 9391    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ...cfz 11547   !cfa 12161    _C cbc 12188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-seq 11917  df-fac 12162  df-bc 12189
This theorem is referenced by:  eirrlem  13597
  Copyright terms: Public domain W3C validator