Theorem faccl 12932

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
2	1	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
4	3	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
6	5	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
8	7	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9		fac0 12925	. . 3 ⊢ (!‘0) = 1
10		1nn 10908	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	9, 10	eqeltri 2684	. 2 ⊢ (!‘0) ∈ ℕ
12		facp1 12927	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14		nn0p1nn 11209	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15		nnmulcl 10920	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
16	14, 15	sylan2 490	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
17	13, 16	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
18	17	expcom 450	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 11348	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  !cfa 12922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-fac 12923

This theorem is referenced by:  faccld  12933  facmapnn  12934  facne0  12935  facdiv  12936  facndiv  12937  facwordi  12938  faclbnd  12939  faclbnd2  12940  faclbnd3  12941  faclbnd4lem1  12942  faclbnd5  12947  faclbnd6  12948  facubnd  12949  facavg  12950  bcrpcl  12957  bccmpl  12958  bcn0  12959  bcn1  12962  bcm1k  12964  bcp1n  12965  bcval5  12967  permnn  12975  4bc2eq6  12978  hashf1  13098  hashfac  13099  bcfallfac  14614  fallfacfac  14615  eftcl  14643  reeftcl  14644  eftabs  14645  efcllem  14647  ef0lem  14648  ege2le3  14659  efcj  14661  efaddlem  14662  eftlub  14678  effsumlt  14680  eflegeo  14690  ef01bndlem  14753  eirrlem  14771  dvdsfac  14886  lcmflefac  15199  prmfac1  15269  pcfac  15441  pcbc  15442  infpnlem1  15452  infpnlem2  15453  prmunb  15456  prmgaplem1  15591  prmgaplem2  15592  gexcl3  17825  aaliou3lem1  23901  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem3  23903  aaliou3lem8  23904  aaliou3lem5  23906  aaliou3lem6  23907  aaliou3lem7  23908  aaliou3lem9  23909  taylfvallem1  23915  taylply2  23926  taylply  23927  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  advlogexp  24201  birthdaylem2  24479  wilthlem3  24596  wilth  24597  chtublem  24736  logfacubnd  24746  logfaclbnd  24747  logfacbnd3  24748  logfacrlim  24749  logexprlim  24750  bcmono  24802  bposlem3  24811  vmadivsum  24971  subfacval2  30423  subfaclim  30424  subfacval3  30425  bcprod  30877  faclim2  30887  bcccl  37560  bcc0  37561  bccp1k  37562  binomcxplemwb  37569  dvnxpaek  38832  wallispi2lem2  38965  stirlinglem2  38968  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  pgrple2abl  41940