Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrple2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgrple2abl 41940
 Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pgrple2abl ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl
StepHypRef Expression
1 pgrple2abl.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21symggrp 17643 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
32adantr 480 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
5 hashbnd 12985 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5mp3an2 1404 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
81, 7symghash 17628 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (#‘(Base‘𝐺)) = (!‘(#‘𝐴)))
96, 8syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (#‘(Base‘𝐺)) = (!‘(#‘𝐴)))
10 hashcl 13009 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
12 faccl 12932 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℕ)
1413nnred 10912 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℝ)
1511, 11nn0expcld 12893 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1615nn0red 11229 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) ∈ ℝ)
17 6re 10978 . . . . 5 6 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19 facubnd 12949 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐴)) ≤ ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)))
2011, 19syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) ≤ ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)))
21 exple2lt6 41939 . . . . 5 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) < 6)
2211, 21sylancom 698 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) < 6)
2314, 16, 18, 20, 22lelttrd 10074 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) < 6)
249, 23eqbrtrd 4605 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (#‘(Base‘𝐺)) < 6)
257lt6abl 18119 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
263, 24, 25syl2anc 691 1 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  6c6 10951  ℕ0cn0 11169  ↑cexp 12722  !cfa 12922  #chash 12979  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  SymGrpcsymg 17620  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-symg 17621  df-od 17771  df-gex 17772  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-cyg 18103 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator