Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggrp 17643
 Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symggrp (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . 2 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 eqidd 2611 . 2 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
3 symggrp.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
63, 4, 5symgcl 17634 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
763adant1 1072 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
8 coass 5571 . . . 4 ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧))
9 simpr1 1060 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
10 simpr2 1061 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
113, 4, 5symgov 17633 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥𝑦))
129, 10, 11syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥𝑦))
1312coeq1d 5205 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
14 simpr3 1062 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
153, 4, 5symgov 17633 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
1610, 14, 15syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
1716coeq2d 5206 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
188, 13, 173eqtr4a 2670 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
199, 10, 6syl2anc 691 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
203, 4, 5symgov 17633 . . . 4 (((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
2119, 14, 20syl2anc 691 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
223, 4, 5symgcl 17634 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
2310, 14, 22syl2anc 691 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
243, 4, 5symgov 17633 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
259, 23, 24syl2anc 691 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2618, 21, 253eqtr4d 2654 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
27 f1oi 6086 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
283, 4elsymgbas 17625 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴))
2927, 28mpbiri 247 . 2 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
303, 4, 5symgov 17633 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
3129, 30sylan 487 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
323, 4elsymgbas 17625 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
3332biimpa 500 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
34 f1of 6050 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
35 fcoi2 5992 . . . 4 (𝑥:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
3633, 34, 353syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
3731, 36eqtrd 2644 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
38 f1ocnv 6062 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
3938a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
403, 4elsymgbas 17625 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
4139, 32, 403imtr4d 282 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
4241imp 444 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
433, 4, 5symgov 17633 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
4442, 43sylancom 698 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
45 f1ococnv1 6078 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
4633, 45syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
4744, 46eqtrd 2644 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
481, 2, 7, 26, 29, 37, 42, 47isgrpd 17267 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   I cid 4948  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  SymGrpcsymg 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-symg 17621 This theorem is referenced by:  symgid  17644  symginv  17645  galactghm  17646  symgga  17649  pgrpsubgsymgbi  17650  pgrpsubgsymg  17651  idressubgsymg  17653  gsumccatsymgsn  17669  symgsssg  17710  symgfisg  17711  symggen  17713  symgtrinv  17715  psgnunilem5  17737  psgnunilem2  17738  psgnuni  17742  psgneldm2  17747  psgnfitr  17760  psgnghm  19745  zrhpsgninv  19750  evpmodpmf1o  19761  mdetleib2  20213  mdetdiag  20224  mdetralt  20233  mdetunilem7  20243  symgtgp  21715  symgfcoeu  29176  madjusmdetlem3  29223  madjusmdetlem4  29224  pgrple2abl  41940
 Copyright terms: Public domain W3C validator