Theorem lelttrd 10074

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 10007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  lt2msq1  10786  suprzcl  11333  ge0p1rp  11738  elfzolt3  12349  flflp1  12470  ltdifltdiv  12497  modsubdir  12601  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  expmulnbnd  12858  discr1  12862  faclbnd5  12947  bcp1nk  12966  hashfun  13084  swrds2  13533  abslt  13902  abs3lem  13926  fzomaxdiflem  13930  icodiamlt  14022  reccn2  14175  o1rlimmul  14197  caucvgrlem  14251  geomulcvg  14446  mertenslem1  14455  bpoly4  14629  ef01bndlem  14753  sin01bnd  14754  cos01bnd  14755  sinltx  14758  eirrlem  14771  rpnnen2lem11  14792  ruclem10  14807  bitsfzolem  14994  bitsfzo  14995  bitsinv1lem  15001  smueqlem  15050  pcfaclem  15440  pockthg  15448  prmreclem5  15462  1arith  15469  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  4sqlem13  15499  coe1tmmul2  19467  ssblex  22043  nlmvscnlem2  22299  nlmvscnlem1  22300  nrginvrcnlem  22305  blcvx  22409  icccmplem2  22434  reconnlem2  22438  metdcnlem  22447  icopnfcnv  22549  nmoleub2lem3  22723  ipcnlem2  22851  ipcnlem1  22852  minveclem3b  23007  minveclem3  23008  pjthlem1  23016  pmltpclem2  23025  ivthlem2  23028  ovollb2lem  23063  iundisj  23123  uniioombllem3  23159  opnmbllem  23175  itg2monolem3  23325  itg2cnlem2  23335  dveflem  23546  dvferm2lem  23553  lhop1lem  23580  dvcnvre  23586  ftc1a  23604  ftc1lem4  23606  coeeulem  23784  dgradd2  23828  aaliou2b  23900  ulmdvlem1  23958  itgulm  23966  radcnvlem1  23971  radcnvlt1  23976  radcnvle  23978  psercnlem1  23983  pserdvlem1  23985  pserdv  23987  abelthlem2  23990  abelthlem7  23996  cosordlem  24081  tanord1  24087  efif1olem1  24092  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  efopnlem1  24202  logtayl  24206  cxpcn3lem  24288  birthdaylem3  24480  efrlim  24496  lgamgulmlem2  24556  lgamucov  24564  ftalem1  24599  ftalem2  24600  ftalem5  24603  basellem1  24607  basellem3  24609  perfectlem2  24755  bposlem1  24809  bposlem3  24811  bposlem6  24814  lgsdirprm  24856  lgsqrlem2  24872  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2sqlem8  24951  2sqblem  24956  dchrvmasumiflem1  24990  pntrmax  25053  pntlemc  25084  pntlemg  25087  pntlemr  25091  axpaschlem  25620  axlowdimlem16  25637  clwwisshclwwlem  26334  eupap1  26503  smcnlem  26936  minvecolem3  27116  pjhthlem1  27634  nmcexi  28269  iundisjf  28784  iundisjfi  28942  psgnfzto1stlem  29181  dya2icoseg  29666  subfaclim  30424  bcprod  30877  dnicn  31652  unbdqndv2lem1  31670  unbdqndv2lem2  31671  knoppndvlem18  31690  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem12  32591  poimirlem15  32594  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  opnmbllem0  32615  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ftc1cnnclem  32653  ftc1anclem7  32661  isbnd3  32753  cntotbnd  32765  rrnequiv  32804  irrapxlem1  36404  pell14qrgapw  36458  monotoddzzfi  36525  ltrmynn0  36533  jm2.24nn  36544  acongeq  36568  jm2.26lem3  36586  jm3.1lem2  36603  binomcxplemnotnn0  37577  isosctrlem1ALT  38192  rfcnnnub  38218  zltlesub  38438  monoords  38452  supxrge  38495  infleinflem2  38528  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  lptre2pt  38707  addlimc  38715  0ellimcdiv  38716  limclner  38718  climleltrp  38743  icccncfext  38773  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnmul  38833  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem5  38898  stoweidlem11  38904  stoweidlem13  38906  stoweidlem14  38907  stoweidlem25  38918  stoweidlem26  38919  stoweidlem42  38935  stoweidlem59  38952  stoweid  38956  wallispilem3  38960  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  fourierdlem10  39010  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem20  39020  fourierdlem24  39024  fourierdlem30  39030  fourierdlem31  39031  fourierdlem33  39033  fourierdlem40  39040  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  fourierdlem46  39045  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem50  39049  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem77  39076  fourierdlem78  39077  fourierdlem79  39078  fourierdlem87  39086  fourierdlem91  39090  fourierdlem92  39091  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fouriersw  39124  etransclem19  39146  etransclem23  39150  etransclem48  39175  ioorrnopnlem  39200  iundjiun  39353  omeiunltfirp  39409  caratheodorylem1  39416  hoicvr  39438  hoidmv1lelem2  39482  hoidmvlelem2  39486  hoiqssbllem2  39513  vonioolem1  39571  vonicclem1  39574  smflimlem4  39660  smfmullem1  39676  iccpartgt  39965  perfectALTVlem2  40165  bgoldbtbndlem2  40222  clwwisshclwwslem  41234  pgrple2abl  41940  logbpw2m1  42159  dignn0ldlem  42194