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Theorem bitsfzolem 14994
Description: Lemma for bitsfzo 14995. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3 (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem (𝜑𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11598 . . 3 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2698 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 2nn 11062 . . . . 5 2 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6 bitsfzo.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
75, 6nnexpcld 12892 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
87nnzd 11357 . 2 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11 n2dvds1 14942 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ∥ 1
124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
1513, 2sseqtri 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0)
16 nnssnn0 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ ⊆ ℕ0
171nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
18 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
20 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 1 < 2)
22 expnbnd 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
24 ssrexv 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
2516, 23, 24mpsyl 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
26 rabn0 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
2725, 26sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅)
28 infssuzcl 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
2915, 27, 28sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
3014, 29syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
3113, 30sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
34 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
356nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3736zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
3833zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
396adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4039nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
4118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
4241, 39reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
4317adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
445, 31nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
4645nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
4830adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
49 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
5049breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
5251breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
5352cbvrabv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑚)}
5450, 53elrab2 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑆)))
5554simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
5742, 43, 46, 47, 56lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
5820a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2)
5941, 36, 33, 58ltexp2d 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
6057, 59mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
6134, 37, 38, 40, 60lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
62 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
6333, 61, 62sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
64 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
6612, 65nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
6867mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
6938ltm1d 10835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
7065nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ)
7170, 38ltnled 10063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
7269, 71mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
73 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
7473breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
7574, 53elrab2 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
76 infssuzle 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
7715, 76mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
7814, 77syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8075, 79syl5bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8165, 80mpand 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8272, 81mtod 188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
8366nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
8483, 43lenltd 10062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
8582, 84mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
8668, 85eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
87 1red 9934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
88 2rp 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
90 1z 11284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
9233, 91zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
9389, 92rpexpcld 12894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
9487, 43, 93lemuldivd 11797 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
9586, 94mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
96 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
97 expm1t 12750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
9896, 63, 97sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
9956, 98breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
10043, 41, 93ltdivmuld 11799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
10199, 100mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
102 df-2 10956 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
103101, 102syl6breq 4624 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
10443, 93rerpdivcld 11779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ)
105 flbi 12479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
106104, 90, 105sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
10795, 103, 106mpbir2and 959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
108107breq2d 4595 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
10911, 108mtbiri 316 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
1101nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
111110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
112 bitsval2 14985 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
113111, 65, 112syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
114109, 113mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
11510, 114sseldd 3569 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
116 elfzolt2 12348 . . . . . 6 ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
118 zlem1lt 11306 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
11933, 36, 118syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
120117, 119mpbird 246 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆𝑀)
12137, 38ltnled 10063 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑀))
12260, 121mpbid 221 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆𝑀)
123120, 122pm2.65da 598 . . 3 (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
1247nnred 10912 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
12517, 124ltnled 10063 . . 3 (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
126123, 125mpbird 246 . 2 (𝜑𝑁 < (2↑𝑀))
127 elfzo2 12342 . 2 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
1283, 8, 126, 127syl3anbrc 1239 1 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  {crab 2900  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  ..^cfzo 12334  cfl 12453  cexp 12722  cdvds 14821  bitscbits 14979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822  df-bits 14982
This theorem is referenced by:  bitsfzo  14995
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