Theorem ltm1d 10835

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 10742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  suprzcl  11333  fzsuc2  12268  fzm1  12289  m1modnnsub1  12578  cshwidxm1  13404  fsumm1  14324  isumsplit  14411  climcndslem1  14420  bitsfzolem  14994  fldivp1  15439  4sqlem12  15498  ram0  15564  sylow1lem1  17836  dgreq0  23825  atanlogsublem  24442  birthdaylem3  24480  wilthlem1  24594  ftalem5  24603  basellem5  24611  lgsval2lem  24832  lgsqrlem2  24872  gausslemma2dlem0c  24883  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  pntrsumbnd2  25056  axlowdimlem16  25637  clwwlkel  26321  eupap1  26503  numclwwlkovf2ex  26613  xlt2addrd  28913  cvmliftlem6  30526  cvmliftlem8  30528  cvmliftlem9  30529  cvmliftlem10  30530  bcprod  30877  iooelexlt  32386  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem12  32591  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem26  32605  mettrifi  32723  irrapxlem1  36404  rmspecsqrtnq  36488  rmspecsqrtnqOLD  36489  acongeq  36568  monoords  38452  fzisoeu  38455  fzdifsuc2  38466  infleinflem2  38528  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem11  38904  stoweidlem14  38907  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem79  39078  ioorrnopnxrlem  39202  iundjiun  39353  bgoldbtbndlem4  40224  lswn0  40242  pthdlem1  40972  clwwlksel  41221  av-numclwwlkovf2ex  41517  m1modmmod  42110  logbpw2m1  42159