Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcprod 30877
Description: A product identity for binomial coefficents. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
bcprod (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem bcprod
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
2 1m1e0 10966 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
31, 2syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
43oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...0))
5 fz10 12233 . . . . 5 (1...0) = ∅
64, 5syl6eq 2660 . . . 4 (𝑚 = 1 → (1...(𝑚 − 1)) = ∅)
73oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (0C𝑘))
87adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (0C𝑘))
96, 8prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = 1 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘))
10 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − 1))
1110oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)))
1211adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)))
136, 12prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = 1 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)))
149, 13eqeq12d 2625 . 2 (𝑚 = 1 → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1))))
15 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
1615oveq2d 6565 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...(𝑛 − 1)))
1715oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑛 − 1)C𝑘))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑛 − 1)C𝑘))
1916, 18prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘))
20 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − 𝑛))
2120oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
2316, 22prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
2419, 23eqeq12d 2625 . 2 (𝑚 = 𝑛 → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))))
25 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
2625oveq2d 6565 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1...(𝑚 − 1)) = (1...((𝑛 + 1) − 1)))
2725oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘))
2827adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘))
2926, 28prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘))
30 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))
3130oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
3231adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
3326, 32prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
3429, 33eqeq12d 2625 . 2 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))))
35 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 − 1) = (𝑁 − 1))
3635oveq2d 6565 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...(𝑁 − 1)))
3735oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C𝑘))
3837adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C𝑘))
3936, 38prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘))
40 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − 𝑁))
4140oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
4241adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
4336, 42prodeq12dv 14495 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
4439, 43eqeq12d 2625 . 2 (𝑚 = 𝑁 → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁))))
45 prod0 14512 . . 3 𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘) = 1
46 prod0 14512 . . 3 𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)) = 1
4745, 46eqtr4i 2635 . 2 𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1))
48 simpr 476 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
4948oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
50 nncn 10905 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
51 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
5250, 51pncand 10272 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
5352oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1...((𝑛 + 1) − 1)) = (1...𝑛))
5452oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (𝑛C𝑘))
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))) → (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (𝑛C𝑘))
5653, 55prodeq12dv 14495 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑛C𝑘))
57 elnnuz 11600 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
5857biimpi 205 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
59 nnnn0 11176 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
60 elfzelz 12213 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
61 bccl 12971 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
6259, 60, 61syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
6362nn0cnd 11230 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛C𝑘) ∈ ℂ)
64 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑛C𝑘) = (𝑛C𝑛))
6558, 63, 64fprodm1 14536 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑛C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · (𝑛C𝑛)))
66 bcnn 12961 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛C𝑛) = 1)
6759, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛C𝑛) = 1)
6867oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · (𝑛C𝑛)) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · 1))
69 fzfid 12634 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
70 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7159, 70, 61syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
7271nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) ∈ ℂ)
7369, 72fprodcl 14521 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) ∈ ℂ)
7473mulid1d 9936 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘))
75 1eluzge0 11608 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (ℤ‘0)
76 fzss1 12251 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(𝑛 − 1)) ⊆ (0...(𝑛 − 1)))
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝑛 − 1)) ⊆ (0...(𝑛 − 1))
7877sseli 3564 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1)))
79 bcm1nt 30876 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) = (((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))))
8078, 79sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) = (((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))))
8180prodeq2dv 14492 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))))
82 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
83 bccl 12971 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
8482, 70, 83syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑛 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
8584nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑛 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
8650adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
87 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
8988nnred 10912 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
9082adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
9190nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
92 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℝ)
94 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑛 − 1))
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑛 − 1))
9693ltm1d 10835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
9789, 91, 93, 95, 96lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 < 𝑛)
98 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
99 nnsub 10936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑘) ∈ ℕ))
10088, 98, 99syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑘) ∈ ℕ))
10197, 100mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ)
102101nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛𝑘) ∈ ℂ)
103101nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛𝑘) ≠ 0)
10486, 102, 103divcld 10680 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 / (𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
10569, 85, 104fprodmul 14529 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘))))
10669, 86, 102, 103fproddiv 14530 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘)))
107 fzfi 12633 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin
108 fprodconst 14547 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 = (𝑛↑(#‘(1...(𝑛 − 1)))))
109107, 50, 108sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 = (𝑛↑(#‘(1...(𝑛 − 1)))))
110 hashfz1 12996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
11182, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (#‘(1...(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
112111oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(#‘(1...(𝑛 − 1)))) = (𝑛↑(𝑛 − 1)))
113109, 112eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛)
114 fprodfac 14542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑗)
11582, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑗)
116 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
117 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11882nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
119 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
121120nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
122 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑛𝑘) → 𝑗 = (𝑛𝑘))
123116, 117, 118, 121, 122fprodrev 14546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑗 = ∏𝑘 ∈ ((𝑛 − (𝑛 − 1))...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘))
12450, 51nncand 10276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
125124oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 − (𝑛 − 1))...(𝑛 − 1)) = (1...(𝑛 − 1)))
126125prodeq1d 14490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ ((𝑛 − (𝑛 − 1))...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘))
127115, 123, 1263eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘))
128113, 127oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘)))
129106, 128eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘)) = ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1))))
130129oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13181, 105, 1303eqtrd 2648 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13268, 74, 1313eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · (𝑛C𝑛)) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13356, 65, 1323eqtrd 2648 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
134133adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13553prodeq1d 14490 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
136 elfznn 12241 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
137136adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
138137nncnd 10913 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
139137nnne0d 10942 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ≠ 0)
140 2nn 11062 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
141140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
142141, 137nnmulcld 10945 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
143142nnzd 11357 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
144 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
145144adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
146145nnzd 11357 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
147143, 146zsubcld 11363 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
148138, 139, 147expclzd 12875 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
149 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
150 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
151150oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))
152149, 151oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1))))
15358, 148, 152fprodm1 14536 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) · (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))))
15488nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15588nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ≠ 0)
156140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 2 ∈ ℕ)
157156, 88nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
158157nnzd 11357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
159116adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
160158, 159zsubcld 11363 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((2 · 𝑘) − 𝑛) ∈ ℤ)
161154, 155, 160expclzd 12875 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) ∈ ℂ)
16269, 161, 154, 155fproddiv 14530 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘))
163157nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
164 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
165163, 86, 164subsub4d 10302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (((2 · 𝑘) − 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))
166165oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑(((2 · 𝑘) − 𝑛) − 1)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
167154, 155, 160expm1d 12880 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑(((2 · 𝑘) − 𝑛) − 1)) = ((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘))
168166, 167eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = ((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘))
169168prodeq2dv 14492 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘))
170 fprodfac 14542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘)
17182, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘)
172171oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘))
173162, 169, 1723eqtr4d 2654 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))))
174140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
175 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
176174, 175nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
177176nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
178177, 50, 51subsub4d 10302 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))
179502timesd 11152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
180179oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 𝑛) = ((𝑛 + 𝑛) − 𝑛))
18150, 50pncand 10272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 + 𝑛) − 𝑛) = 𝑛)
182180, 181eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 𝑛) = 𝑛)
183182oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 𝑛) − 1) = (𝑛 − 1))
184178, 183eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)) = (𝑛 − 1))
185184oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1))) = (𝑛↑(𝑛 − 1)))
186173, 185oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) · (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))) · (𝑛↑(𝑛 − 1))))
18769, 161fprodcl 14521 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) ∈ ℂ)
188 faccl 12932 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
18982, 188syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
190189nncnd 10913 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
19150, 82expcld 12870 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
192189nnne0d 10942 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) ≠ 0)
193187, 190, 191, 192div32d 10703 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))) · (𝑛↑(𝑛 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
194186, 193eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) · (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
195135, 153, 1943eqtrd 2648 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
196195adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
19749, 134, 1963eqtr4d 2654 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
198197ex 449 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))))
19914, 24, 34, 44, 47, 198nnind 10915 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cexp 12722  !cfa 12922  Ccbc 12951  #chash 12979  cprod 14474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator