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Theorem monoords 38452
 Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoords.flt ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
monoords.i (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
Assertion
Ref Expression
monoords (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoords
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
21ancli 572 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
43anbi2d 736 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))))
5 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
65eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
74, 6imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
8 monoords.fk . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97, 8vtoclg 3239 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
101, 2, 9sylc 63 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
11 elfzel1 12212 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12213 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
141, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
15 elfzle1 12215 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐼)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐼)
17 eluz2 11569 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1239 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
19 elfzuz2 12217 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21 eluzelz 11573 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2314zred 11358 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
24 monoords.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
25 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2726zred 11358 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2822zred 11358 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
29 monoords.iltj . . . . . 6 (𝜑𝐼 < 𝐽)
30 elfzle2 12216 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
3124, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 10076 . . . . 5 (𝜑𝐼 < 𝑁)
33 elfzo2 12342 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1239 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))
35 fzofzp1 12431 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3736ancli 572 . . 3 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
38 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
3938anbi2d 736 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
40 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
4140eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4239, 41imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
4342, 8vtoclg 3239 . . 3 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4436, 37, 43sylc 63 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
4524ancli 572 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
46 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
4746anbi2d 736 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))))
48 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐽))
4948eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5047, 49imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)))
5150, 8vtoclg 3239 . . 3 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5224, 45, 51sylc 63 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)
5334ancli 572 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
54 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
5554anbi2d 736 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))))
56 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 + 1) = (𝐼 + 1))
5756fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
585, 57breq12d 4596 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
5955, 58imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
60 monoords.flt . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6159, 60vtoclg 3239 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
6234, 53, 61sylc 63 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
6314peano2zd 11361 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
64 zltp1le 11304 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6514, 26, 64syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6629, 65mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
67 eluz2 11569 . . . 4 (𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6863, 26, 66, 67syl3anbrc 1239 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
6912adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7022adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℤ)
71 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘 ∈ ℤ)
7271adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7369, 70, 723jca 1235 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
7469zred 11358 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7572zred 11358 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7663zred 11358 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7776adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7823adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
7916adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝐼)
8078ltp1d 10833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
8174, 78, 77, 79, 80lelttrd 10074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
82 elfzle1 12215 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8382adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8474, 77, 75, 81, 83ltletrd 10076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < 𝑘)
8574, 75, 84ltled 10064 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝑘)
8627adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℝ)
8770zred 11358 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
88 elfzle2 12216 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘𝐽)
8988adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝐽)
9031adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽𝑁)
9175, 86, 87, 89, 90letrd 10073 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝑁)
9273, 85, 91jca32 556 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
93 elfz2 12204 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9492, 93sylibr 223 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9594, 8syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9612adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9722adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 elfzelz 12213 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9998adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
10096, 97, 993jca 1235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
10196zred 11358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
10299zred 11358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
10376adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
10412zred 11358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10523ltp1d 10833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 < (𝐼 + 1))
106104, 23, 76, 16, 105lelttrd 10074 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝐼 + 1))
107106adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
108 elfzle1 12215 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
109108adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
110101, 103, 102, 107, 109ltletrd 10076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
111101, 102, 110ltled 10064 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀𝑘)
11297zred 11358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
113 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
11427, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116 elfzle2 12216 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
117116adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
11827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
119118ltm1d 10835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝐽)
12031adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑁)
121115, 118, 112, 119, 120ltletrd 10076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝑁)
122102, 115, 112, 117, 121lelttrd 10074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
123102, 112, 122ltled 10064 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘𝑁)
124100, 111, 123jca32 556 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
125124, 93sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
126125, 8syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
127 peano2zm 11297 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12897, 127syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12996, 128, 993jca 1235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
130128zred 11358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
131 1red 9934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13227, 28, 131, 31lesub1dd 10522 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
133132adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
134102, 115, 130, 117, 133letrd 10073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
135129, 111, 134jca32 556 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
136 elfz2 12204 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
137135, 136sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
138 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
139 fzoval 12340 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
14022, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
141140eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
142141adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
143138, 142eleqtrd 2690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
144 fzofzp1 12431 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
145143, 144syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
146 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
147146, 145jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
148 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
149148anbi2d 736 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
150 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
151150eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
152149, 151imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
153 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
154153anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
155 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
156155eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
157154, 156imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
158157, 8chvarv 2251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
159152, 158vtoclg 3239 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
160145, 147, 159sylc 63 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
161137, 160syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
162143, 60syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
163137, 162syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
164126, 161, 163ltled 10064 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
16568, 95, 164monoord 12693 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝐹𝐽))
16610, 44, 52, 62, 165ltletrd 10076 1 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  fourierdlem34  39034
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