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Theorem clwwlkel 26321

Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 20-Oct-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkbij.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkel	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸,𝑤 𝑖,𝑁,𝑤 𝑃,𝑖,𝑤 𝑖,𝑉,𝑤 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑤,𝑖) 𝑋(𝑤,𝑖) 𝑌(𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem clwwlkel**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
2		fstwrdne0 13200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
3		ccatws1n0 13261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
5	4	3ad2antl3 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
6	5	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
7		simp2l 1080	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
8	2	3ad2antl3 1218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
9	8	s1cld 13236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	9	3adant3 1074	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		ccatcl 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
12	7, 10, 11	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
13	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
14	2	s1cld 13236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
16		elfzonn0 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
18		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)))
21		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
27	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	22, 26, 27	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < (𝑁 − 1))
31	23	ltm1d 10835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
34		lttr 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁))
35	34	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
36	29, 30, 33, 35	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < 𝑁)
37	36	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < (𝑁 − 1) → 𝑖 < 𝑁))
38	37	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
39	38	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
40	20, 39	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
41	40	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
42		elfzo0z 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
43	17, 19, 41, 42	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
44	43	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
45		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
46	45	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
47	46	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
49	44, 48	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
50		ccatval1 13214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
51	13, 15, 49, 50	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
52	51	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖))
53		elfzom1p1elfzo 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
54	53	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
55	45	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
57	54, 56	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
58		ccatval1 13214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
59	13, 15, 57, 58	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
60	59	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)))
61	52, 60	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))})
62	61	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
63	62	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
64	63	biimpcd 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
66	65	expdcom 454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
67	66	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
68	67	3imp 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
69		fzo0end 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
71	45	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
72	71	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
73	70, 72	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
74		ccatval1 13214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
75	1, 14, 73, 74	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
76		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑃) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑃) − 1))
77	76	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑃) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
78	77	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
80		lsw 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
82	79, 81	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝑃))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝑃))
84	75, 83	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘𝑃) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
85		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑃) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
86	85	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
87	86	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
88		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
89		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
90	88, 89	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
91	90	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
92	91	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
94		ccatws1ls 13262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)) = (𝑃‘0))
95	1, 2, 94	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)) = (𝑃‘0))
96	87, 93, 95	3eqtr3rd 2653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
97	84, 96	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
98	97	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
99	98	biimpcd 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
101	100	expdcom 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
102	101	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
103	102	3imp 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
104		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ V
105		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
106		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
107	106	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
108	105, 107	preq12d 4220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
109	108	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
110	104, 109	ralsn 4169	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
111	103, 110	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
112	88, 89, 89	addsubd 10292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
113	112	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^((𝑁 − 1) + 1)))
114		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
115		elnn0uz 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
116	114, 115	sylib 207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
117		fzosplitsn 12442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
119	113, 118	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
120	119	raleqdv 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
121		ralunb 3756	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
122	120, 121	syl6bb 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
123	122	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
124	123	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
125	68, 111, 124	mpbir2and 959	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
126		simprl 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
127		ccatlen 13213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
128	126, 9, 127	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
129		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (#‘𝑃) = 𝑁)
130		s1len 13238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1)
132	129, 131	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
133	132	ad2antll 761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
134	128, 133	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
135	134	3adant3 1074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
136	135	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
137	136	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
138	137	raleqdv 3121	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
139	125, 138	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
140	6, 12, 139	3jca 1235	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
141		nnnn0 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
142		iswwlkn 26212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
143	141, 142	syl3an3 1353	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
144		iswwlk 26211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
145	144	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
146	145	anbi1d 737	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
147	143, 146	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
148	147	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
149	140, 135, 148	mpbir2and 959	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
150		lswccats1 13263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
151	1, 2, 150	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
152		lbfzo0 12375	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
153	152	biimpri 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^𝑁))
154	153	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
155	45	eleq2d 2673	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) = 𝑁 → (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
156	155	ad2antll 761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
157	154, 156	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
158		ccatval1 13214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
159	1, 14, 157, 158	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
160	151, 159	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
161	160	3ad2antl3 1218	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
162	161	3adant3 1074	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
163		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
164		fveq1 6102	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
165	163, 164	eqeq12d 2625	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
166		clwwlkbij.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
167	165, 166	elrab2 3333	. 2 ⊢ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
168	149, 162, 167	sylanbrc 695	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 {crab 2900 ∪ cun 3538 ∅c0 3874 {csn 4125 {cpr 4127 class class class wbr 4583 ran crn 5039 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 − cmin 10145 ℕcn 10897 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 ++ cconcat 13148 ⟨“cs1 13149 WWalks cwwlk 26205 WWalksN cwwlkn 26206

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-concat 13156 df-s1 13157 df-wwlk 26207 df-wwlkn 26208

This theorem is referenced by: clwwlkfo 26325 clwwlknwwlkncl 26328

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