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Theorem clwwlkel 26321
 Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 20-Oct-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkbij.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
Assertion
Ref Expression
clwwlkel (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑤   𝑖,𝑁,𝑤   𝑃,𝑖,𝑤   𝑖,𝑉,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑖)   𝑋(𝑤,𝑖)   𝑌(𝑤,𝑖)

Proof of Theorem clwwlkel
StepHypRef Expression
1 simprl 790 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
2 fstwrdne0 13200 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
3 ccatws1n0 13261 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
41, 2, 3syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
543ad2antl3 1218 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
653adant3 1074 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
7 simp2l 1080 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
823ad2antl3 1218 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
98s1cld 13236 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
1093adant3 1074 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11 ccatcl 13212 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
127, 10, 11syl2anc 691 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
142s1cld 13236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
16 elfzonn0 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
18 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 elfzo0 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)))
21 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2723adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2822, 26, 273jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
30 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < (𝑁 − 1))
3123ltm1d 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
34 lttr 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁))
3534imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁)) → 𝑖 < 𝑁)
3629, 30, 33, 35syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < 𝑁)
3736ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < (𝑁 − 1) → 𝑖 < 𝑁))
3837impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
39383adant2 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
4020, 39sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
4140impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
42 elfzo0z 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
4317, 19, 41, 42syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
4443adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
45 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑃) = 𝑁 → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
4645eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4746ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4944, 48mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
50 ccatval1 13214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
5113, 15, 49, 50syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
5251eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖))
53 elfzom1p1elfzo 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
5453adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
5545ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(#‘𝑃)) = (0..^𝑁))
5754, 56eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
58 ccatval1 13214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
5913, 15, 57, 58syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
6059eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)))
6152, 60preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))})
6261eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6362ralbidva 2968 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6463biimpcd 238 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6665expdcom 454 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
67663ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
68673imp 1249 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
69 fzo0end 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
7145eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
7271ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
7370, 72mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
74 ccatval1 13214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
751, 14, 73, 74syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
76 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = (#‘𝑃) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑃) − 1))
7776fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (#‘𝑃) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
7877eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) = 𝑁 → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
80 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
8279, 81eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝑃))
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝑃))
8475, 83eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘𝑃) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
85 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (#‘𝑃) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
8685eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
8786ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)))
88 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
89 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9088, 89npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9190eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
9291fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
94 ccatws1ls 13262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)) = (𝑃‘0))
951, 2, 94syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(#‘𝑃)) = (𝑃‘0))
9687, 93, 953eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
9784, 96preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
9897eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
9998biimpcd 238 . . . . . . . . . . 11 ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
10099adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
101100expdcom 454 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1021013ad2ant3 1077 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1031023imp 1249 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
104 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑁 − 1) ∈ V
105 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
106 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
107106fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
108105, 107preq12d 4220 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
109108eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
110104, 109ralsn 4169 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
111103, 110sylibr 223 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
11288, 89, 89addsubd 10292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
113112oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^((𝑁 − 1) + 1)))
114 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
115 elnn0uz 11601 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
116114, 115sylib 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
117 fzosplitsn 12442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
119113, 118eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
120119raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
121 ralunb 3756 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
122120, 121syl6bb 275 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1231223ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1241233ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
12568, 111, 124mpbir2and 959 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
126 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
127 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
128126, 9, 127syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
129 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) = 𝑁 → (#‘𝑃) = 𝑁)
130 s1len 13238 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) = 𝑁 → (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1)
132129, 131oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) = 𝑁 → ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
133132ad2antll 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
134128, 133eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
1351343adant3 1074 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
136135oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
137136oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
138137raleqdv 3121 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
139125, 138mpbird 246 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
1406, 12, 1393jca 1235 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
141 nnnn0 11176 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
142 iswwlkn 26212 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
143141, 142syl3an3 1353 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
144 iswwlk 26211 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1451443adant3 1074 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
146145anbi1d 737 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
147143, 146bitrd 267 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
1481473ad2ant1 1075 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
149140, 135, 148mpbir2and 959 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
150 lswccats1 13263 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
1511, 2, 150syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
152 lbfzo0 12375 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
153152biimpri 217 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^𝑁))
154153adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
15545eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 𝑁 → (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
156155ad2antll 761 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
157154, 156mpbird 246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
158 ccatval1 13214 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
1591, 14, 157, 158syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
160151, 159eqtr4d 2647 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
1611603ad2antl3 1218 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
1621613adant3 1074 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
163 fveq2 6103 . . . 4 (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
164 fveq1 6102 . . . 4 (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
165163, 164eqeq12d 2625 . . 3 (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
166 clwwlkbij.d . . 3 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
167165, 166elrab2 3333 . 2 ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
168149, 162, 167sylanbrc 695 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208 This theorem is referenced by:  clwwlkfo  26325  clwwlknwwlkncl  26328
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