Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lswn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswn0 40242
Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases ( is the last symbol) and invalid cases ( means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0
StepHypRef Expression
1 lsw 13204 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
213ad2ant1 1075 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
3 wrdf 13165 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
4 lencl 13179 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
6 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
76biimpri 217 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
1110ltm1d 10835 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
13 elfzo0 12376 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊)))
149, 7, 12, 13syl3anbrc 1239 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
1514adantll 746 . . . . . . . 8 (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
165, 15ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
1716ex 449 . . . . . 6 ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
183, 4, 17syl2anc 691 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19 eleq1a 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . 9 (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
2120eqcoms 2618 . . . . . . . 8 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . 7 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23 nnel 2892 . . . . . . 7 (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
2422, 23syl6ibr 241 . . . . . 6 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
2524necon2ad 2797 . . . . 5 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
2618, 25syl6 34 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
2726com23 84 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28273imp 1249 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
292, 28eqnetrd 2849 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wnel 2781  c0 3874   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator