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Theorem dgreq0 23825
 Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgreq0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgreq0.2 . . . . . 6 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
31, 2syl5eq 2656 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4 coe0 23816 . . . . 5 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
53, 4syl6eq 2660 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
7 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
86, 7syl5eq 2656 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = (deg‘0𝑝))
9 dgr0 23822 . . . . 5 (deg‘0𝑝) = 0
108, 9syl6eq 2660 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
115, 10fveq12d 6109 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
13 fvconst2g 6372 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
1412, 12, 13mp2an 704 . . 3 ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
1511, 14syl6eq 2660 . 2 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴𝑁) = 0)
161coefv0 23808 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1918nnred 10912 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2019ltm1d 10835 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
22 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
241, 6dgrub 23794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
25243expia 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2625ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑁) = 0)
28 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 𝑘 → (𝐴𝑁) = (𝐴𝑘))
2928eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
3027, 29syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴𝑘) = 0))
3130necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑁𝑘))
3226, 31jcad 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → (𝑘𝑁𝑁𝑘)))
33 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
3433ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3635ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3734, 36ltlend 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘𝑁𝑁𝑘)))
38 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
3938ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
40 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4140ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 zltlem1 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4339, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4437, 43bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘𝑁𝑁𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4532, 44sylibd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4645expr 641 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
4746ralrimiv 2948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
481coef3 23792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4948ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
50 plyco0 23752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
5123, 49, 50syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
5247, 51mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
531, 6dgrlb 23796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
5421, 23, 52, 53syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
5535adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
56 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5855, 57lenltd 10062 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁))
5954, 58mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
6020, 59pm2.65da 598 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
61 dgrcl 23793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
626, 61syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64 elnn0 11171 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6563, 64sylib 207 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6665ord 391 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
6760, 66mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
6867fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐴𝑁) = (𝐴‘0))
69 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐴𝑁) = 0)
7017, 68, 693eqtr2d 2650 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
7170sneqd 4137 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
7271xpeq2d 5063 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
736, 67syl5eqr 2658 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
74 0dgrb 23806 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
7574adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
7673, 75mpbid 221 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
77 df-0p 23243 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
7877a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
7972, 76, 783eqtr4d 2654 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
8079ex 449 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
8115, 80impbid2 215 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751 This theorem is referenced by:  dgrlt  23826  dgradd2  23828  dgrmul  23830  dgrcolem2  23834  plymul0or  23840  plydivlem4  23855  plydiveu  23857  vieta1lem2  23870  vieta1  23871  aareccl  23885  ftalem2  24600  ftalem4  24602  ftalem5  24603  signsply0  29954  mpaaeu  36739  elaa2lem  39126
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