Theorem cshwidxm1 13404

Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxm1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzoelz 12339	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		ubmelm1fzo 12430	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6		cshwidxmod 13400	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
8		elfzoel2 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
10	2	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11		1cnd 9935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12		nnpcan 10183	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) − 1))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) − 1))
14	13	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)))
16		elfzo0 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)))
17		nnre 10904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
18		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20		nnrp 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
21	19, 20	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
22	21	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
23	16, 22	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
24		nnm1ge0 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((#‘𝑊) − 1))
25	24	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 0 ≤ ((#‘𝑊) − 1))
26	16, 25	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 ≤ ((#‘𝑊) − 1))
27		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
28	27	ltm1d 10835	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
29	8, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
30	23, 26, 29	jca32 556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((#‘𝑊) − 1) ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((#‘𝑊) − 1) ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))))
32		modid 12557	. . . . 5 ⊢ (((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((#‘𝑊) − 1) ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − 1))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − 1))
34	15, 33	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − 1))
35	34	fveq2d 6107	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
36	7, 35	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386

This theorem is referenced by: (None)