Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxrlem 39202
 Description: Given a point 𝐹 that belongs to an indexed product of (possibly unbounded) open intervals, then 𝐹 belongs to an open product of bounded open intervals that's a subset of the original indexed product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxrlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxrlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.l 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
ioorrnopnxrlem.r 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.v 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxrlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑖,𝐹,𝑣   𝑖,𝐿   𝑅,𝑖   𝑣,𝑉   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑣)   𝐿(𝑣)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem ioorrnopnxrlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnxrlem.v . . . 4 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
3 ioorrnopnxrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 iftrue 4042 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
54adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
6 ioossre 12106 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ⊆ ℝ
7 ioorrnopnxrlem.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
87adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
9 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
10 fvixp2 38384 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
118, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
126, 11sseldi 3566 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
13 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → 1 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
165, 15eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
17 iffalse 4045 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
1817adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
19 neqne 2790 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
21 ioorrnopnxrlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2221ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
24 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
25 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
2712rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
28 ioorrnopnxrlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
2928ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
30 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3122, 29, 11, 30syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3212ltpnfd 11831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < +∞)
3322, 27, 26, 31, 32xrlttrd 11866 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < +∞)
3422, 26, 33xrltned 38514 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3623, 24, 35xrred 38522 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3720, 36syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3818, 37eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3916, 38pm2.61dan 828 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
40 ioorrnopnxrlem.l . . . . 5 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
4139, 40fmptd 6292 . . . 4 (𝜑𝐿:𝑋⟶ℝ)
42 iftrue 4042 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4342adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4412, 13readdcld 9948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4544adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4643, 45eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
47 iffalse 4045 . . . . . . . 8 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
49 neqne 2790 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
5049adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
5129adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
52 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
5412mnfltd 11834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐹𝑖))
55 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5622, 29, 11, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5753, 27, 29, 54, 56xrlttrd 11866 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐵𝑖))
5853, 29, 57xrgtned 38479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
60 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
6151, 59, 60xrred 38522 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6250, 61syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6348, 62eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6446, 63pm2.61dan 828 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
65 ioorrnopnxrlem.r . . . . 5 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
6664, 65fmptd 6292 . . . 4 (𝜑𝑅:𝑋⟶ℝ)
673, 41, 66ioorrnopn 39201 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
682, 67eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
697elexd 3187 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
70 ixpfn 7800 . . . . . . 7 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹 Fn 𝑋)
717, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
7241ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ)
7372rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
7466ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
7574rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
7640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖))))
7739elexd 3187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ V)
7876, 77fvmpt2d 6202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7978adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
8079, 5eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = ((𝐹𝑖) − 1))
8112ltm1d 10835 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8281adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8380, 82eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8478adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
8584, 18eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = (𝐴𝑖))
8631adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
8785, 86eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8883, 87pm2.61dan 828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8912ltp1d 10833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
9089adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
9165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖))))
9264elexd 3187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ V)
9391, 92fvmpt2d 6202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9594, 43eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = ((𝐹𝑖) + 1))
9695eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) = (𝑅𝑖))
9790, 96breqtrd 4609 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
9856adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
9993adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
10099, 48eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = (𝐵𝑖))
101100eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = (𝑅𝑖))
10298, 101breqtrd 4609 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10397, 102pm2.61dan 828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10473, 75, 12, 88, 103eliood 38567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
105104ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
10669, 71, 1053jca 1235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
107 elixp2 7798 . . . . 5 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
108106, 107sylibr 223 . . . 4 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
109108, 1syl6eleqr 2699 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
11022adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
11173adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
11216mnfltd 11834 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
113112, 5breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < ((𝐹𝑖) − 1))
114 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = -∞)
115114, 80breq12d 4596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐴𝑖) < (𝐿𝑖) ↔ -∞ < ((𝐹𝑖) − 1)))
116113, 115mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐿𝑖))
117110, 111, 116xrltled 38427 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
11885eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = (𝐿𝑖))
11937, 118eqled 10019 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
120117, 119pm2.61dan 828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
12175adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
12229adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
12345ltpnfd 11831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) < +∞)
124 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = +∞)
12595, 124breq12d 4596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝑅𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ ((𝐹𝑖) + 1) < +∞))
126123, 125mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) < (𝐵𝑖))
127121, 122, 126xrltled 38427 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
12874adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
129128, 100eqled 10019 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
130127, 129pm2.61dan 828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
131 ioossioo 12136 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖) ∧ (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13222, 29, 120, 130, 131syl22anc 1319 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
133132ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
134 ss2ixp 7807 . . . . 5 (∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
135133, 134syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1362, 135eqsstrd 3602 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
137109, 136jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
138 eleq2 2677 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
139 sseq1 3589 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
140138, 139anbi12d 743 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
141140rspcev 3282 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
14268, 137, 141syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Xcixp 7794  Fincfn 7841  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,)cioo 12046  TopOpenctopn 15905  ℝ^crrx 22979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-phl 19790  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776  df-tch 22777  df-rrx 22981 This theorem is referenced by:  ioorrnopnxr  39203
 Copyright terms: Public domain W3C validator