numclwwlkovf2ex - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numclwwlkovf2ex		Structured version Visualization version GIF version

Theorem numclwwlkovf2ex 26613

Description: Extending a closed walk starting at a fixed vertex by an additional edge (forth and back). (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlkovf2ex	⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐸 𝑛,𝑁 𝑛,𝑉 𝑤,𝐶 𝑤,𝑁 𝐶,𝑛,𝑣,𝑤 𝑣,𝑁 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑣,𝑉 𝑤,𝐸 𝑤,𝑉 𝑤,𝐹 𝑤,𝑃 𝑤,𝑄 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑣,𝑛) 𝑄(𝑣,𝑛) 𝐸(𝑣) 𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlkovf2ex Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
2		uzuzle23 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		uznn0sub 11595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
5	4	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
6		simp2 1055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		numclwwlk.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
8		numclwwlk.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
9	7, 8	numclwwlkovfel2 26610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
11		ccatws1cl 13249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
12	11	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉))
13	12	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉))
14	13	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉))
15	14	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉))
16	15	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉))
17	16	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
19		nbgraisvtx 25960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
20		s1cl 13235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
21	19, 20	syl6 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉))
22	21	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉))
24	23	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
25		ccatcl 13212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
26	18, 24, 25	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
27		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
28	27	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
29	28	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
30		elfzonn0 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
32		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
33		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)))
34		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑖 ∈ ℝ)
36		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
37		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℝ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
40	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
41	35, 39, 40	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ))
42	36	ltm1d 10835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
44		lttr 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((𝑖 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 𝑖 < (#‘𝑃)))
45	44	expcomd 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃) → (𝑖 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑖 < (#‘𝑃))))
46	41, 43, 45	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑖 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑖 < (#‘𝑃)))
47	46	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (#‘𝑃)))
48	47	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (#‘𝑃)))
49	33, 48	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑖 < (#‘𝑃)))
50	32, 49	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑖 < (#‘𝑃)))
51	50	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑖 < (#‘𝑃)))
52	51	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑖 < (#‘𝑃)))
53	52	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝑖 < (#‘𝑃))
54	29, 31, 53	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (#‘𝑃)))
55	6	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
56	19	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑄 ∈ 𝑉))
58	57	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑄 ∈ 𝑉))
59	58	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → 𝑄 ∈ 𝑉)
60	55, 59	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))
62		ccat2s1fvw 13267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
63	62	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (𝑃‘𝑖) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖))
64	54, 61, 63	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑃‘𝑖) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖))
65		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
66		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
67	66	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
68	33, 67	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀)
70		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℝ)
71	35, 70, 40	ltaddsubd 10506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((𝑖 + 1) < (#‘𝑃) ↔ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)))
72	71	biimprd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑖 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)))
73	72	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)))
74	73	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)))
75	33, 74	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)))
76	32, 75	mpan9 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑖 + 1) < (#‘𝑃))
77	65, 69, 76	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)))
78	77	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (#‘𝑃))))
79	78	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (#‘𝑃))))
80	79	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (#‘𝑃))))
81	80	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)))
82		ccat2s1fvw 13267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 + 1) < (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
83	81, 61, 82	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
84	83	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1)))
85	64, 84	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))})
86	85	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
87	86	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
88	87	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
89	88	exp41 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))))
90	89	com15 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))))
91	90	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))))
92	91	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))))
93	92	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
94	93	3impib 1254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
95	94	impcom 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
96	95	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
97		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
98		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((#‘𝑃) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑃) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
100		eluzelcn 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
101		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
102		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
103	100, 101, 102	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
104		2p1e3 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (2 + 1) = 3
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 + 1) = 3)
106	105	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3))
107		uznn0sub 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ₀)
108	106, 107	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 + 1)) ∈ ℕ₀)
109	103, 108	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ₀)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ ℕ₀)
111	99, 110	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀)
112	111	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀)
113	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
114	113	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
115	97, 112, 114	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)))
116	115	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)))))
117	116	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))))))
118	117	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))))))
119	118	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))))
121	120	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))))
122	121	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)))
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)))
124	19	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
125		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
127	124, 126	jctild 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)))
128	127	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))))
129	128	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))))
130	129	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))))
131	130	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))))
132	131	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))))
133	132	imp31 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))
134		ccat2s1fvw 13267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
135	123, 133, 134	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
136		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
137		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
138		npcan 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑃) − 1) + 1) = (#‘𝑃))
139	136, 137, 138	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) + 1) = (#‘𝑃))
140	32, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 1) + 1) = (#‘𝑃))
141	140	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑃) − 1) + 1) = (#‘𝑃))
142	141	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (((#‘𝑃) − 1) + 1) = (#‘𝑃))
143	142	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((#‘𝑃) − 1) + 1) = (#‘𝑃))
144	143	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)))
145		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
146		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝑃) = (#‘𝑃))
147	145, 146	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)))
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)))
149	125	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
150	19	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
151	150	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
152		ccatw2s1p1 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)
153	148, 149, 151, 152	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)
154	153	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋))
155	154	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)))
156	155	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)))
157	156	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)))
158	157	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)))
159	158	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)))
160	159	imp31 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)
161	144, 160	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1)) = 𝑋)
162	135, 161	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋})
163		lsw 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
164	163	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
165		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝑋)
166	164, 165	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋})
167	166	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸))
168	167	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸))
169	168	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸)))
170	169	com3l 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ({( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸)))
171	170	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸))
172	171	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸))
173	172	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸)))
174	173	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸)
175	174	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 1)), 𝑋} ∈ ran 𝐸)
176	162, 175	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
177		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)
178	177, 152	mpanl2 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)) = 𝑋)
179		ccatw2s1p2 13266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1)) = 𝑄)
180	177, 179	mpanl2 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1)) = 𝑄)
181	178, 180	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})
182	181	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄}))
183	182	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})))
184	19, 183	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ Word 𝑉 → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄}))))
185	184	com24 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄}))))
186	185	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄}))))
187	186	impd 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})))
188	187	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})))
189	188	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})))
190	189	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})))
191	190	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})))
192	191	imp31 447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} = {𝑋, 𝑄})
193		nbgraeledg 25959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸))
194		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑄, 𝑋} = {𝑋, 𝑄}
195	194	eleq1i 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑄} ∈ ran 𝐸)
196	195	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸 → {𝑋, 𝑄} ∈ ran 𝐸)
197	193, 196	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {𝑋, 𝑄} ∈ ran 𝐸))
198	197	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {𝑋, 𝑄} ∈ ran 𝐸))
199	198	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → {𝑋, 𝑄} ∈ ran 𝐸))
200	199	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {𝑋, 𝑄} ∈ ran 𝐸)
201	192, 200	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} ∈ ran 𝐸)
202		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) − 1) ∈ V
203		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘𝑃) ∈ V
204		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 1) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)))
205		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝑃) − 1) + 1))
206	205	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 1) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1)))
207	204, 206	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 1) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1))})
208	207	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 1) → ({(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
209		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (#‘𝑃) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)))
210		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (#‘𝑃) → (𝑖 + 1) = ((#‘𝑃) + 1))
211	210	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (#‘𝑃) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1)))
212	209, 211	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (#‘𝑃) → {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))})
213	212	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (#‘𝑃) → ({(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} ∈ ran 𝐸))
214	202, 203, 208, 213	ralpr 4185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)} {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ({(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) − 1)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(((#‘𝑃) − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(#‘𝑃)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((#‘𝑃) + 1))} ∈ ran 𝐸))
215	176, 201, 214	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)} {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
216	96, 215	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)} {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
217		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℂ)
218		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
219	136, 217, 218	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
220	32, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
221	220	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑃) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
222	221	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((#‘𝑃) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
223		addsubass 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑃) + 2) − 1) = ((#‘𝑃) + (2 − 1)))
224	222, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((#‘𝑃) + 2) − 1) = ((#‘𝑃) + (2 − 1)))
225		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 − 1) = 1
226	225	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) + (2 − 1)) = ((#‘𝑃) + 1)
227	224, 226	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((#‘𝑃) + 2) − 1) = ((#‘𝑃) + 1))
228	227	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = (0..^((#‘𝑃) + 1)))
229		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → 0 ∈ ℤ)
230	32	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
231	230	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
232	231	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
233		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
234		df-3 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 3 = (2 + 1)
235	234	breq1i 4590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
236		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 2 ∈ ℤ
237		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
238	236, 237	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
239	238	biimprd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 + 1) ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
240	235, 239	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
241	240	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
242		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
243		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ∈ ℝ
244	242, 243	jctil 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
245	244	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
246		posdif 10400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
247	245, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
248	241, 247	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 2))
249	248	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 2))
250	233, 249	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (𝑁 − 2))
251	250	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 0 < (𝑁 − 2))
252		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → (0 < (#‘𝑃) ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
253	252	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (0 < (#‘𝑃) ↔ 0 < (𝑁 − 2)))
254	251, 253	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 0 < (#‘𝑃))
255	254	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → 0 < (#‘𝑃))
256		fzosplitprm1 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}))
257	229, 232, 255, 256	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (0..^((#‘𝑃) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}))
258	228, 257	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}))
259	258	expr 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)})))
260	259	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)})))
261	260	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)})))
262	261	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)})))
263	262	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}))
264	263	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}))
265	264	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
266		ralunb 3756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)}){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)} {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
267	265, 266	syl6bb 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1), (#‘𝑃)} {(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
268	216, 267	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
269		simp11 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
270	269	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
271	6	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
272	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
273	272	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
274		ccatw2s1len 13254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((#‘𝑃) + 2))
275	270, 271, 273, 274	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((#‘𝑃) + 2))
276	275	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1) = (((#‘𝑃) + 2) − 1))
277	276	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)))
278	277	raleqdv 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) + 2) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
279	268, 278	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
280		lswccats1 13263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑄)
281	11, 280	stoic3 1692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑄)
282	270, 271, 273, 281	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑄)
283		uz3m2nn 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
284	283	nngt0d 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (𝑁 − 2))
285	284, 252	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (#‘𝑃)))
286	285	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 0 < (#‘𝑃)))
287	286	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → 0 < (#‘𝑃)))
288	287	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → 0 < (#‘𝑃)))
289	288	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → 0 < (#‘𝑃))
290	289	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 0 < (#‘𝑃))
291		ccat2s1fst 13268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑃)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
292	270, 290, 271, 273, 291	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
293	282, 292	preq12d 4220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} = {𝑄, (𝑃‘0)})
294	193	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸))
295	294	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸))
296	295	biimpa 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸)
297		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → {𝑄, (𝑃‘0)} = {𝑄, 𝑋})
298	297	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → ({𝑄, (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸))
299	298	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ({𝑄, (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸))
300	299	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ({𝑄, (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {𝑄, 𝑋} ∈ ran 𝐸))
301	296, 300	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {𝑄, (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
302	293, 301	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
303	26, 279, 302	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
304	269	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
305	6	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
306		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑄 ∈ 𝑉)
307	304, 305, 306, 274	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((#‘𝑃) + 2))
308		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((#‘𝑃) + 2) = ((𝑁 − 2) + 2))
309		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℂ
310		npcan 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
311	100, 309, 310	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
312	308, 311	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁)
313	312	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁))
314	313	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁))
315	314	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁))
316	315	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁))
317	316	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁)
318	317	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑃) + 2) = 𝑁)
319	307, 318	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)
320	319	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ 𝑉 → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))
321	272, 320	syld 46	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))
322	321	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)
323	303, 322	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))
324	323	exp31 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))))
325	10, 324	sylbid 229	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))))
326	325	com23 84	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))))
327	326	3imp 1249	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁))
328		usgrav 25867	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
329		eluzge2nn0 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
330	2, 329	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
331	330	anim2i 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
332		df-3an 1033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
333	331, 332	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
334		isclwwlkn 26297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
335	333, 334	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
336		isclwwlk 26296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
337	336	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
338	337	anbi1d 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
339	335, 338	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
340	328, 339	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
341	340	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
342	341	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) − 1)){(((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘𝑖), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)), (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)) = 𝑁)))
343	327, 342	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
344	7	numclwwlkfvc 26604	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
345	330, 344	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
346	345	3ad2ant3 1077	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
347	346	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
348	343, 347	eleqtrrd 2691	1 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 {crab 2900 Vcvv 3173 ∪ cun 3538 {cpr 4127 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ran crn 5039 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↦ cmpt2 6551 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 ++ cconcat 13148 ⟨“cs1 13149 USGrph cusg 25859 Neighbors cnbgra 25946 ClWWalks cclwwlk 26276 ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-concat 13156 df-s1 13157 df-usgra 25862 df-nbgra 25949 df-clwwlk 26279 df-clwwlkn 26280

This theorem is referenced by: numclwlk1lem2foa 26618

W3C validator