MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltm1d 10567
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltm1d  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltm1 10473 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  <  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898   class class class wbr 4416  (class class class)co 6315   RRcr 9564   1c1 9566    < clt 9701    - cmin 9886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889
This theorem is referenced by:  suprzcl  11044  fzsuc2  11882  fzm1  11903  cshwidxm1  12945  fsumm1  13861  isumsplit  13947  climcndslem1  13956  bitsfzolem  14456  bitsfzolemOLD  14457  fldivp1  14891  4sqlem12  14949  ram0  15029  sylow1lem1  17299  dgreq0  23268  atanlogsublem  23890  birthdaylem3  23928  wilthlem1  24042  ftalem5  24050  ftalem5OLD  24052  basellem5  24060  lgsval2lem  24283  lgsqrlem2  24319  lgsquadlem1  24331  lgsquadlem2  24332  pntrsumbnd2  24454  axlowdimlem16  25036  clwwlkel  25570  eupap1  25753  numclwwlkovf2ex  25863  xlt2addrd  28387  cvmliftlem6  30062  cvmliftlem8  30064  cvmliftlem9  30065  cvmliftlem10  30066  bcprod  30423  iooelexlt  31810  poimirlem1  31986  poimirlem2  31987  poimirlem6  31991  poimirlem7  31992  poimirlem8  31993  poimirlem12  31997  poimirlem15  32000  poimirlem16  32001  poimirlem17  32002  poimirlem19  32004  poimirlem20  32005  poimirlem21  32006  poimirlem22  32007  poimirlem23  32008  poimirlem26  32011  mettrifi  32131  irrapxlem1  35711  rmspecsqrtnq  35799  acongeq  35878  monoords  37552  fzisoeu  37556  fzdifsuc2  37568  iblspltprt  37888  itgspltprt  37894  stoweidlem11  37909  stoweidlem14  37912  fourierdlem11  38018  fourierdlem12  38019  fourierdlem15  38022  fourierdlem41  38049  fourierdlem48  38056  fourierdlem49  38057  fourierdlem50  38058  fourierdlem79  38087  iundjiun  38336  bgoldbtbndlem4  38941  lswn0  38960  pthdlem1  39792  m1modmmod  40597  logbpw2m1  40651
  Copyright terms: Public domain W3C validator