MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Unicode version

Theorem ltm1d 10490
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltm1d  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltm1 10396 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  <  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   RRcr 9489   1c1 9491    < clt 9626    - cmin 9811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814
This theorem is referenced by:  suprzcl  10966  fzsuc2  11804  fzm1  11825  cshwidxm1  12854  fsumm1  13755  isumsplit  13841  climcndslem1  13850  bitsfzolem  14350  bitsfzolemOLD  14351  fldivp1  14785  4sqlem12  14843  ram0  14923  sylow1lem1  17193  dgreq0  23161  atanlogsublem  23783  birthdaylem3  23821  wilthlem1  23935  ftalem5  23943  ftalem5OLD  23945  basellem5  23953  lgsval2lem  24176  lgsqrlem2  24212  lgsquadlem1  24224  lgsquadlem2  24225  pntrsumbnd2  24347  axlowdimlem16  24929  clwwlkel  25463  eupap1  25646  numclwwlkovf2ex  25756  xlt2addrd  28288  cvmliftlem6  29965  cvmliftlem8  29967  cvmliftlem9  29968  cvmliftlem10  29969  bcprod  30325  iooelexlt  31672  poimirlem1  31848  poimirlem2  31849  poimirlem6  31853  poimirlem7  31854  poimirlem8  31855  poimirlem12  31859  poimirlem15  31862  poimirlem16  31863  poimirlem17  31864  poimirlem19  31866  poimirlem20  31867  poimirlem21  31868  poimirlem22  31869  poimirlem23  31870  poimirlem26  31873  mettrifi  31993  irrapxlem1  35579  rmspecsqrtnq  35667  acongeq  35746  monoords  37411  fzisoeu  37415  fzdifsuc2  37427  iblspltprt  37733  itgspltprt  37739  stoweidlem11  37754  stoweidlem14  37757  fourierdlem11  37863  fourierdlem12  37864  fourierdlem15  37867  fourierdlem41  37894  fourierdlem48  37901  fourierdlem49  37902  fourierdlem50  37903  fourierdlem79  37932  iundjiun  38149  bgoldbtbndlem4  38716  lswn0  38733  m1modmmod  39927  logbpw2m1  39981
  Copyright terms: Public domain W3C validator