MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Unicode version

Theorem ltm1d 10478
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltm1d  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltm1 10382 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    < clt 9628    - cmin 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  suprzcl  10940  fzsuc2  11737  lswcl  12554  lswccat0lsw  12572  cshwidxm1  12740  fsumm1  13529  isumsplit  13615  climcndslem1  13624  bitsfzolem  13943  fldivp1  14275  4sqlem12  14333  ram0  14399  sylow1lem1  16424  dgreq0  22424  atanlogsublem  23002  birthdaylem3  23039  wilthlem1  23098  ftalem5  23106  basellem5  23114  lgsval2lem  23337  lgsqrlem2  23373  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  pntrsumbnd2  23508  axlowdimlem16  23964  clwwlkel  24497  eupap1  24680  numclwwlkovf2ex  24791  xlt2addrd  27274  cvmliftlem6  28403  cvmliftlem8  28405  cvmliftlem9  28406  cvmliftlem10  28407  mettrifi  29881  irrapxlem1  30390  rmspecsqrtnq  30474  acongeq  30553  monoords  31101  fzisoeu  31105  iblspltprt  31319  itgspltprt  31325  stoweidlem11  31339  stoweidlem14  31342  fourierdlem11  31446  fourierdlem12  31447  fourierdlem15  31450  fourierdlem41  31476  fourierdlem48  31483  fourierdlem49  31484  fourierdlem50  31485  fourierdlem79  31514  lswn0  31838
  Copyright terms: Public domain W3C validator