MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Unicode version

Theorem ltm1d 10473
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltm1d  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltm1 10378 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    < clt 9617    - cmin 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  suprzcl  10938  fzsuc2  11741  fzm1  11762  cshwidxm1  12768  fsumm1  13648  isumsplit  13734  climcndslem1  13743  bitsfzolem  14168  fldivp1  14500  4sqlem12  14558  ram0  14624  sylow1lem1  16817  dgreq0  22828  atanlogsublem  23443  birthdaylem3  23481  wilthlem1  23540  ftalem5  23548  basellem5  23556  lgsval2lem  23779  lgsqrlem2  23815  lgsquadlem1  23827  lgsquadlem2  23828  pntrsumbnd2  23950  axlowdimlem16  24462  clwwlkel  24995  eupap1  25178  numclwwlkovf2ex  25288  xlt2addrd  27809  cvmliftlem6  28999  cvmliftlem8  29001  cvmliftlem9  29002  cvmliftlem10  29003  mettrifi  30490  irrapxlem1  30997  rmspecsqrtnq  31081  acongeq  31160  monoords  31735  fzisoeu  31739  fzdifsuc2  31751  iblspltprt  32011  itgspltprt  32017  stoweidlem11  32032  stoweidlem14  32035  fourierdlem11  32139  fourierdlem12  32140  fourierdlem15  32143  fourierdlem41  32169  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem50  32178  fourierdlem79  32207  lswn0  32607  m1modmmod  33388  logbpw2m1  33442
  Copyright terms: Public domain W3C validator