Theorem rmspecsqrtnqOLD 36489

Description: Obsolete version of rmspecsqrtnq 36488 as of 2-Aug-2021. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecsqrtnqOLD	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnqOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 11575	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 12868	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 9873	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 10159	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6	5	sqrtcld 14024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7		eluz2nn 11602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 12891	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9		nnm1nn0 11211	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11		nnm1nn0 11211	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13		binom2sub 12843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
14	1, 3, 13	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
15		2re 10967	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		eluzelre 11574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		1re 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		remulcl 9900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
20		remulcl 9900	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℝ)
21	15, 19, 20	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℂ)
23	17	resqcli 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) ∈ ℝ
24	23	recni 9931	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) ∈ ℂ)
26	2, 22, 25	subsubd 10299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
27	14, 26	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2))))
28	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
29		resubcl 10224	. . . . . 6 ⊢ (((2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℝ ∧ (1↑2) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)) ∈ ℝ)
30	21, 23, 29	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)) ∈ ℝ)
31	8	nnred 10912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
32	3	2timesi 11024	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
33		eluz2b2 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
34	33	simprbi 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
35	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
36		2pos 10989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 2)
38		ltmul2 10753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 < 𝐴 ↔ (2 · 1) < (2 · 𝐴)))
39	28, 16, 35, 37, 38	syl112anc 1322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (2 · 1) < (2 · 𝐴)))
40	34, 39	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 1) < (2 · 𝐴))
41	32, 40	syl5eqbrr 4619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
42		remulcl 9900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
43	15, 16, 42	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
44	28, 28, 43	ltaddsubd 10506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
45	41, 44	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
46	1	mulid1d 9936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
47	46	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
48		sq1 12820	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) = 1)
50	47, 49	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)) = ((2 · 𝐴) − 1))
51	45, 50	breqtrrd 4611	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)))
52	28, 30, 31, 51	ltsub2dd 10519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2))) < ((𝐴↑2) − 1))
53	27, 52	eqbrtrd 4605	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
54	31	ltm1d 10835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
55		npcan 10169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
56	1, 3, 55	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
57	56	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
58	54, 57	breqtrrd 4611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
59		nonsq 15305	. . 3 ⊢ (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
60	10, 12, 53, 58, 59	syl22anc 1319	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
61	6, 60	eldifd 3551	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  ℚcq 11664  ↑cexp 12722  √csqrt 13821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282

This theorem is referenced by: (None)