Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundjiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundjiun 39353
 Description: Given a sequence 𝐸 of sets, a sequence 𝐹 of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiun.nph 𝑛𝜑
iundjiun.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiun.e (𝜑𝐸:𝑍𝑉)
iundjiun.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
iundjiun (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑚,𝑛   𝑚,𝐹   𝑖,𝑁,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiun
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4460 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 205 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 iundjiun.nph . . . . . . . . 9 𝑛𝜑
5 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑥
6 nfiu1 4486 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)
75, 6nfel 2763 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)
8 simp2 1055 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
9 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝜑)
10 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
11 iundjiun.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑁)
1211eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑁) = 𝑍
1310, 12syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛𝑍)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝑛𝑍)
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
16 iundjiun.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐸:𝑍𝑉)
1716ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑉)
18 difexg 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑉 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
20 iundjiun.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2215, 19, 21syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
23 difssd 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
2422, 23eqsstrd 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
259, 14, 24syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
26253adant3 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
27 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2826, 27sseldd 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
29 rspe 2986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
308, 28, 29syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
31 eliun 4460 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
3230, 31sylibr 223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
33323exp 1256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))))
344, 7, 33rexlimd 3008 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)))
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)))
363, 35mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
3736ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
38 dfss3 3558 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
3937, 38sylibr 223 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
40 fzssuz 12253 . . . . . . . . . . 11 (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁)
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁))
4231biimpi 205 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
43 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)
44 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
4544eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
4643, 45uzwo4 38246 . . . . . . . . . 10 (((𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
4741, 42, 46syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
4847adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
49 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
50 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖(𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
51 nfra1 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
5250, 51nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑖((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
53 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℤ)
5453zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℝ)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℝ)
56 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℤ)
5756zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℝ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
59 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
6058, 59resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
61 elfzolem1 38478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
6358ltm1d 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
6455, 60, 58, 62, 63lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
6564ad4ant24 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
66 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
67 elfzel1 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑁 ∈ ℤ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 elfzel2 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7268, 70, 713jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
73 elfzole1 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑁𝑖)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁𝑖)
7570zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
76 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 1 ∈ ℝ)
7757, 76resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
7869zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
7957ltm1d 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
80 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛𝑚)
8177, 57, 78, 79, 80ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
8355, 60, 75, 62, 82lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑚)
8455, 75, 83ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑚)
8572, 74, 84jca32 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑚)))
86 elfz2 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑚) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑚)))
8785, 86sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
8887adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
89 rspa 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9066, 88, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9190adantlll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9265, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9452, 93ralrimi 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
95 ralnex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9694, 95sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
97 eliun 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9896, 97sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
9998adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
10049, 99eldifd 3551 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
10114, 22syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
102101eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝑛))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝑛))
104100, 103eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
105104ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
106105ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))))
1074, 106reximdai 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
108107adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
10948, 108mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
110109, 1sylibr 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
111110ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
112 dfss3 3558 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
113111, 112sylibr 223 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
11439, 113eqssd 3585 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
115114ralrimivw 2950 . 2 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
11611iuneqfzuz 38492 . . 3 (∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
117115, 116syl 17 . 2 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
118 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
119 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝑚))
120119iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
121118, 120difeq12d 3691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
122121cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
12320, 122eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
124 simpllr 795 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛𝑍)
125 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑍)
126 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
12711, 123, 124, 125, 126iundjiunlem 39352 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
128127adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
129 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍))
130 neqne 2790 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 = 𝑘𝑛𝑘)
131 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
132131, 11syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
133 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
135134zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
137136ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
139138, 11syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
140 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
142141zred 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ)
143142ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
144 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ¬ 𝑛 < 𝑘)
145136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
146142ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
147145, 146lenltd 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → (𝑘𝑛 ↔ ¬ 𝑛 < 𝑘))
148144, 147mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑛)
149148adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑛)
150 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛𝑘)
151137, 143, 149, 150leneltd 10070 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
152130, 151sylanl2 681 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
153152ad5ant2345 1309 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
154 anass 679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)))
155 incom 3767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛))
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛)))
157 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘𝑍)
158 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑛𝑍)
159 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘 < 𝑛)
16011, 123, 157, 158, 159iundjiunlem 39352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛)) = ∅)
161156, 160eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
162154, 161sylanb 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
163129, 153, 162syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
164128, 163pm2.61dan 828 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
165164ex 449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
166 df-or 384 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
167165, 166sylibr 223 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
168167ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
169168ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 → ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
1704, 169ralrimi 2940 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
171 nfcv 2751 . . . . 5 𝑚(𝐹𝑛)
172 nfmpt1 4675 . . . . . . 7 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
17320, 172nfcxfr 2749 . . . . . 6 𝑛𝐹
174 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑛𝑚
175173, 174nffv 6110 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑚)
176 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
177171, 175, 176cbvdisj 4563 . . . 4 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ Disj 𝑚𝑍 (𝐹𝑚))
178 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
179178disjor 4567 . . . 4 (Disj 𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
180 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑛𝑍
181 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑛 𝑚 = 𝑘
182 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑘
183173, 182nffv 6110 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐹𝑘)
184175, 183nfin 3782 . . . . . . . 8 𝑛((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘))
185 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑛
186184, 185nfeq 2762 . . . . . . 7 𝑛((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅
187181, 186nfor 1822 . . . . . 6 𝑛(𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
188180, 187nfral 2929 . . . . 5 𝑛𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
189 nfv 1830 . . . . 5 𝑚𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
190 equequ1 1939 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑘𝑛 = 𝑘))
191 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
192191ineq1d 3775 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)))
193192eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅ ↔ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
194190, 193orbi12d 742 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
195194ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
196188, 189, 195cbvral 3143 . . . 4 (∀𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
197177, 179, 1963bitri 285 . . 3 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
198170, 197sylibr 223 . 2 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
199115, 117, 198jca31 555 1 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  meaiunlelem  39361  meaiuninclem  39373  carageniuncllem2  39412
 Copyright terms: Public domain W3C validator