Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem1 40972
Description: Lemma 1 for pthd 40975. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 13165 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
4 fzo0ss1 12367 . . . . . . . . 9 (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5 pthd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 = ((#‘𝑃) − 1))
76oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
84, 7syl5sseq 3616 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
9 lencl 13179 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
10 nn0z 11277 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
12 fzossrbm1 12366 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
148, 13sstrd 3578 . . . . . . 7 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
153, 14fssresd 5984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
191, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
2120ltm1d 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
22 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
23 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℝ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25 lttr 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
2622, 24, 20, 25mp3an2i 1421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
27 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28 ltle 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
2927, 20, 28syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3026, 29syld 46 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3121, 30mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3231imdistani 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
33 elnnnn0c 11215 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
3432, 33sylibr 223 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
3519, 34sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
36 fzo0sn0fzo1 12424 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
38 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
40 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
4139, 40eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
4310adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
44 ltaddsub 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) ↔ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
4544bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
4622, 27, 20, 45mp3an2i 1421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
47 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
4839, 47eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
49 ltle 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5048, 20, 49sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5146, 50sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
53 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5442, 43, 52, 53syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5519, 54sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
56 fzosplitsnm1 12409 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5738, 55, 56syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5857uneq2d 3729 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
5937, 58eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
6059raleqdv 3121 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
61 ralunb 3756 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
62 ralunb 3756 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
6362anbi2i 726 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6461, 63bitri 263 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6560, 64syl6bb 275 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))))
665eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) − 1) = 𝑅
6766oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (1..^((#‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
6867raleqi 3119 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
69 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
7069eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃𝑗))
7473eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7672, 75neeq12d 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7776biimpd 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7877imim2d 55 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
7978ralimdva 2945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8079ralimdva 2945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8168, 80syl5bi 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8281adantrd 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8382adantld 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8465, 83sylbid 229 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8518, 84mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86 dff14a 6427 . . . . 5 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8716, 85, 86sylanbrc 695 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88 df-f1 5809 . . . 4 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
8987, 88sylib 207 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
9089simprd 478 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91 funcnv0 5869 . . 3 Fun
9219nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
93 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9594zred 11358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96 1red 9934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9795, 96lenltd 10062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
9897biimpar 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ 1)
995, 98syl5eqbr 4618 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100 1zzd 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1015, 94syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
102100, 101jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103102adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104 fzon 12358 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105104bicomd 212 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106103, 105syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
10799, 106mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108107reseq2d 5317 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109 res0 5321 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110108, 109syl6eq 2660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111110cnveqd 5220 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
112111funeqd 5825 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ∅))
11391, 112mpbiri 247 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
11490, 113pm2.61dan 828 1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ccnv 5037  cres 5040  Fun wfun 5798  wf 5800  1-1wf1 5801  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154
This theorem is referenced by:  pthd  40975
  Copyright terms: Public domain W3C validator