Theorem nn0ge0d 11231

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 11195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  flmulnn0  12490  zmodfz  12554  modaddmodlo  12596  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  expmulnbnd  12858  facwordi  12938  faclbnd  12939  faclbnd4lem3  12944  faclbnd6  12948  facavg  12950  hashdom  13029  repswcshw  13409  climcnds  14422  geomulcvg  14446  mertenslem1  14455  eftabs  14645  efcllem  14647  efaddlem  14662  eftlub  14678  oexpneg  14907  divalg2  14966  bitsfzolem  14994  bitsmod  14996  sadcaddlem  15017  sadaddlem  15026  sadasslem  15030  sadeq  15032  smueqlem  15050  dfgcd2  15101  gcdmultiple  15107  gcdmultiplez  15108  dvdssqlem  15117  nn0seqcvgd  15121  mulgcddvds  15207  isprm5  15257  zsqrtelqelz  15304  phibndlem  15313  dfphi2  15317  pythagtriplem3  15361  pythagtriplem10  15363  pythagtriplem6  15364  pythagtriplem7  15365  pythagtriplem12  15369  pythagtriplem14  15371  iserodd  15378  pcge0  15404  pcprmpw2  15424  pcmptdvds  15436  fldivp1  15439  pcbc  15442  qexpz  15443  pockthlem  15447  pockthg  15448  prmreclem3  15460  mul4sqlem  15495  4sqlem12  15498  4sqlem14  15500  4sqlem16  15502  0ram  15562  ram0  15564  ramcl  15571  prmolefac  15588  2expltfac  15637  odmodnn0  17782  pgpfi  17843  ablfac1c  18293  psrbaglesupp  19189  psrbagcon  19192  psrlidm  19224  coe1tmmul2  19467  prmirred  19662  lebnumii  22573  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  itg2cnlem2  23335  fta1g  23731  coemulhi  23814  dgradd2  23828  dgrco  23835  aareccl  23885  aaliou3lem8  23904  radcnvlem1  23971  dvradcnv  23979  leibpilem1  24467  dmlogdmgm  24550  wilthlem1  24594  sgmmul  24726  chtublem  24736  fsumvma2  24739  chpchtsum  24744  perfectlem2  24755  bcmono  24802  bposlem5  24813  lgsval2lem  24832  lgsval4a  24844  lgsqrlem2  24872  gausslemma2dlem0c  24883  gausslemma2dlem0d  24884  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgsquadlem1  24905  2lgslem1a1  24914  2sqlem3  24945  2sqlem7  24949  2sqlem8  24951  2sqblem  24956  dchrisum0re  25002  pntrlog2bndlem4  25069  pntpbnd1a  25074  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  ostth2  25126  wwlksubclwwlk  26332  nndiffz1  28936  2sqmod  28979  submateqlem1  29201  nexple  29399  oddpwdc  29743  eulerpartlems  29749  eulerpartlemgc  29751  eulerpartlemb  29757  subfaclim  30424  cvmliftlem2  30522  cvmliftlem10  30530  snmlff  30565  poimirlem10  32589  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  itg2addnclem2  32632  rrnequiv  32804  irrapxlem2  36405  irrapxlem5  36408  pellexlem1  36411  pellexlem2  36412  pellexlem5  36415  pellexlem6  36416  pell14qrgt0  36441  pell1qrge1  36452  pellfundgt1  36465  rmspecnonsq  36490  rmspecfund  36492  rmspecpos  36499  rmxypos  36532  ltrmxnn0  36534  jm2.24  36548  acongeq  36568  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592  nzprmdif  37540  bccbc  37566  binomcxplemnn0  37570  fsumnncl  38638  mccllem  38664  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  stoweidlem24  38917  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  wallispi2lem1  38964  stirlinglem4  38970  stirlinglem5  38971  stirlinglem10  38976  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem92  39091  sqwvfoura  39121  elaa2lem  39126  etransclem19  39146  etransclem23  39150  etransclem27  39154  etransclem44  39171  rrndistlt  39186  oexpnegALTV  40126  perfectALTVlem2  40165  crctcsh1wlkn0lem4  41016  wwlksubclwwlks  41232  blennn  42167  dignn0ldlem  42194  dig2nn1st  42197  digexp  42199  dignn0flhalf  42210