MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lenltd 10062
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lenltd (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 lenlt 9995 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wcel 1977   class class class wbr 4583  cr 9814   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-xr 9957  df-le 9959
This theorem is referenced by:  ltnsymd  10065  nltled  10066  lensymd  10067  dedekind  10079  leadd1  10375  leord1  10434  prodge0  10749  lediv1  10767  lemuldiv  10782  lerec  10785  le2msq  10802  suprub  10863  suprleub  10866  supaddc  10867  supmul1  10869  infregelb  10884  suprfinzcl  11368  uzinfi  11644  zsupss  11653  suprzub  11655  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  fzdisj  12239  uzdisj  12282  nn0disj  12324  fzouzdisj  12373  fleqceilz  12515  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  leexp2  12777  hashf1  13098  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  ccatsymb  13219  swrdccatin2  13338  rlimcld2  14157  rlimno1  14232  isercoll  14246  ruclem3  14801  bitsfzolem  14994  bitsmod  14996  sadcaddlem  15017  smupvallem  15043  pcfac  15441  4sqlem11  15497  ramcl2lem  15551  sylow1lem1  17836  fvmptnn04if  20473  chfacfisf  20478  chfacfisfcpmat  20479  recld2  22425  reconnlem2  22438  ivthlem2  23028  ivthlem3  23029  ovolicopnf  23099  ioombl1lem4  23136  ioorcl2  23146  itg1ge0a  23284  mbfi1fseqlem4  23291  itg2monolem1  23323  itg2cnlem1  23334  dvferm1lem  23551  dvferm2lem  23553  mdegmullem  23642  dgrub  23794  dgrlb  23796  dgreq0  23825  quotcan  23868  aaliou3lem9  23909  radcnvle  23978  abelthlem2  23990  logdivle  24172  cxple  24241  lgsval2lem  24832  gausslemma2dlem1a  24890  padicabv  25119  ssnnssfz  28937  smattr  29193  smatbl  29194  smatbr  29195  esumpcvgval  29467  eulerpartlems  29749  dstfrvunirn  29863  ballotlemodife  29886  erdszelem7  30433  erdszelem8  30434  unblimceq0  31668  unbdqndv2lem1  31670  poimirlem2  32581  poimirlem7  32586  poimirlem10  32589  poimirlem11  32590  areacirc  32675  rencldnfilem  36402  irrapxlem1  36404  monotoddzzfi  36525  radcnvrat  37535  reclt0d  38548  reclt0  38555  sqrlearg  38627  dvnxpaek  38832  volico  38876  sublevolico  38877  fourierdlem12  39012  fourierdlem42  39042  elaa2lem  39126  iundjiun  39353  hoidmvval0  39477  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1lelem3  39483  hoidmvlelem4  39488  hspdifhsp  39506  volico2  39531  ovolval2lem  39533  vonioo  39573  smfconst  39636  fzopredsuc  39946  stgoldbwt  40198  nnsum3primesle9  40210  bgoldbtbndlem1  40221  pthdlem1  40972  ssnn0ssfz  41920
  Copyright terms: Public domain W3C validator