MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnexpcld 12892
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nnexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 12735 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  (class class class)co 6549  cn 10897  0cn0 11169  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  bitsp1  14991  bitsfzolem  14994  bitsfzo  14995  bitsmod  14996  bitsfi  14997  bitscmp  14998  bitsinv1lem  15001  bitsinv1  15002  2ebits  15007  bitsinvp1  15009  sadcaddlem  15017  sadadd3  15021  sadaddlem  15026  sadasslem  15030  bitsres  15033  bitsuz  15034  bitsshft  15035  smumullem  15052  smumul  15053  rplpwr  15114  rppwr  15115  pclem  15381  pcprendvds2  15384  pcpre1  15385  pcpremul  15386  pcdvdsb  15411  pcidlem  15414  pcid  15415  pcdvdstr  15418  pcgcd1  15419  pcprmpw2  15424  pcaddlem  15430  pcadd  15431  pcfaclem  15440  pcfac  15441  pcbc  15442  oddprmdvds  15445  prmpwdvds  15446  pockthlem  15447  2expltfac  15637  pgpfi1  17833  sylow1lem1  17836  sylow1lem3  17838  sylow1lem4  17839  sylow1lem5  17840  pgpfi  17843  gexexlem  18078  ablfac1lem  18290  ablfac1b  18292  ablfac1eu  18295  aalioulem2  23892  aalioulem5  23895  aaliou3lem9  23909  isppw2  24641  sgmppw  24722  fsumvma2  24739  pclogsum  24740  chpchtsum  24744  logfacubnd  24746  bposlem1  24809  bposlem5  24813  gausslemma2d  24899  lgseisen  24904  chebbnd1lem1  24958  rpvmasumlem  24976  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0flblem2  24998  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  oddpwdc  29743  eulerpartlemgh  29767  jm3.1lem3  36604  inductionexd  37473  stoweidlem25  38918  stoweidlem45  38938  wallispi2lem1  38964  ovnsubaddlem1  39460  ovolval5lem2  39543  fmtnoodd  39983  fmtnof1  39985  fmtnosqrt  39989  fmtnorec4  39999  odz2prm2pw  40013  fmtnoprmfac1lem  40014  fmtnoprmfac1  40015  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtnoprmfac2  40017  2pwp1prm  40041  lighneallem1  40060  proththdlem  40068  proththd  40069  pw2m1lepw2m1  42104  nnpw2even  42117  logbpw2m1  42159  nnpw2pmod  42175  nnpw2p  42178  nnolog2flm1  42182  dignn0flhalflem1  42207
  Copyright terms: Public domain W3C validator