Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inductionexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inductionexd 37473
 Description: Simple induction example. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
inductionexd (𝑁 ∈ ℕ → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5))

Proof of Theorem inductionexd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = 1 → (4↑𝑘) = (4↑1))
21oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = 1 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑1) + 5))
32breq2d 4595 . 2 (𝑘 = 1 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑1) + 5)))
4 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
54oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑𝑛) + 5))
65breq2d 4595 . 2 (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)))
7 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
87oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 5))
98breq2d 4595 . 2 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5)))
10 oveq2 6557 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
1110oveq1d 6564 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 5) = ((4↑𝑁) + 5))
1211breq2d 4595 . 2 (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 5) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5)))
13 3z 11287 . . . 4 3 ∈ ℤ
14 4z 11288 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
15 1nn0 11185 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
16 zexpcl 12737 . . . . . 6 ((4 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (4↑1) ∈ ℤ)
1714, 15, 16mp2an 704 . . . . 5 (4↑1) ∈ ℤ
18 5nn 11065 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 11278 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 zaddcl 11294 . . . . 5 (((4↑1) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((4↑1) + 5) ∈ ℤ)
2117, 19, 20mp2an 704 . . . 4 ((4↑1) + 5) ∈ ℤ
2213, 13, 213pm3.2i 1232 . . 3 (3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((4↑1) + 5) ∈ ℤ)
23 3t3e9 11057 . . . 4 (3 · 3) = 9
24 4nn0 11188 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
2524numexp1 15619 . . . . . 6 (4↑1) = 4
2625oveq1i 6559 . . . . 5 ((4↑1) + 5) = (4 + 5)
27 5cn 10977 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
28 4cn 10975 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
29 5p4e9 11044 . . . . . 6 (5 + 4) = 9
3027, 28, 29addcomli 10107 . . . . 5 (4 + 5) = 9
3126, 30eqtri 2632 . . . 4 ((4↑1) + 5) = 9
3223, 31eqtr4i 2635 . . 3 (3 · 3) = ((4↑1) + 5)
33 dvds0lem 14830 . . 3 (((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((4↑1) + 5) ∈ ℤ) ∧ (3 · 3) = ((4↑1) + 5)) → 3 ∥ ((4↑1) + 5))
3422, 32, 33mp2an 704 . 2 3 ∥ ((4↑1) + 5)
3513a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∈ ℤ)
36 4nn 11064 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ)
38 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3937, 38nnexpcld 12892 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℕ)
4039nnzd 11357 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4219a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 5 ∈ ℤ)
4341, 42zaddcld 11362 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → ((4↑𝑛) + 5) ∈ ℤ)
4414a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 4 ∈ ℤ)
45 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5))
4635, 43, 44, 45dvdsmultr1d 14858 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 5) · 4))
47 dvdsmul1 14841 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 5))
4813, 19, 47mp2an 704 . . . . . 6 3 ∥ (3 · 5)
4948a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ (3 · 5))
5043, 44zmulcld 11364 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (((4↑𝑛) + 5) · 4) ∈ ℤ)
5135, 42zmulcld 11364 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → (3 · 5) ∈ ℤ)
5235, 46, 49, 50, 51dvds2subd 14855 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
5339nncnd 10913 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
5427a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 5 ∈ ℂ)
5528a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
5653, 54, 55adddird 9944 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((4↑𝑛) + 5) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)))
5756oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − 15) = ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15))
58 3cn 10972 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
59 5t3e15 11511 . . . . . . . . 9 (5 · 3) = 15
6027, 58, 59mulcomli 9926 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (3 · 5) = 15)
6261oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − 15))
6355, 38expp1d 12871 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
64 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 11030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 1) = 4
6658, 64, 65addcomli 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 3) = 4
6766eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (1 + 3)
6867oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 3) = ((1 + 3) − 3)
6964, 58pncan3oi 10176 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 3) − 3) = 1
7068, 69eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = 1
7170oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (5 · (4 − 3)) = (5 · 1)
7227, 28, 58subdii 10358 . . . . . . . . . . 11 (5 · (4 − 3)) = ((5 · 4) − (5 · 3))
7327mulid1i 9921 . . . . . . . . . . 11 (5 · 1) = 5
7471, 72, 733eqtr3ri 2641 . . . . . . . . . 10 5 = ((5 · 4) − (5 · 3))
7559eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 15 = (5 · 3)
7675oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 ((5 · 4) − 15) = ((5 · 4) − (5 · 3))
7774, 76eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 5 = ((5 · 4) − 15)
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 5 = ((5 · 4) − 15))
7963, 78oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = (((4↑𝑛) · 4) + ((5 · 4) − 15)))
8053, 55mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
8154, 55mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (5 · 4) ∈ ℂ)
82 5nn0 11189 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
8315, 82deccl 11388 . . . . . . . . . 10 15 ∈ ℕ0
8483nn0cni 11181 . . . . . . . . 9 15 ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 15 ∈ ℂ)
8680, 81, 85addsubassd 10291 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15) = (((4↑𝑛) · 4) + ((5 · 4) − 15)))
8779, 86eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) · 4) + (5 · 4)) − 15))
8857, 62, 873eqtr4rd 2655 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
8988adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 5) = ((((4↑𝑛) + 5) · 4) − (3 · 5)))
9052, 89breqtrrd 4611 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 5)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5))
9190ex 449 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 5) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 5)))
923, 6, 9, 12, 34, 91nnind 10915 1 (𝑁 ∈ ℕ → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 5))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  9c9 10954  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator