MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 10107
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 10106 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2632 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813   + caddc 9818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  mvlladdi  10178  negsubdi2i  10246  1p2e3  11029  4t4e16  11509  6t3e18  11518  6t5e30  11520  6t5e30OLD  11521  7t3e21  11525  7t4e28  11526  7t6e42  11528  7t7e49  11529  8t3e24  11531  8t4e32  11532  8t5e40  11533  8t5e40OLD  11534  8t8e64  11538  9t3e27  11540  9t4e36  11541  9t5e45  11542  9t6e54  11543  9t7e63  11544  9t8e72  11545  9t9e81  11546  4bc3eq4  12977  n2dvdsm1  14943  bitsfzo  14995  gcdaddmlem  15083  6gcd4e2  15093  gcdi  15615  2exp8  15634  2exp16  15635  37prm  15666  43prm  15667  83prm  15668  139prm  15669  163prm  15670  317prm  15671  631prm  15672  1259lem1  15676  1259lem2  15677  1259lem3  15678  1259lem4  15679  1259lem5  15680  1259prm  15681  2503lem1  15682  2503lem2  15683  2503lem3  15684  2503prm  15685  4001lem1  15686  4001lem2  15687  4001lem4  15689  4001prm  15690  iaa  23884  dvradcnv  23979  eulerid  24030  binom4  24377  log2ublem3  24475  log2ub  24476  lgsdir2lem1  24850  m1lgs  24913  2lgsoddprmlem3d  24938  ex-bc  26701  ex-gcd  26706  ex-ind-dvds  26710  vcm  26815  fib5  29794  fib6  29795  inductionexd  37473  lhe4.4ex1a  37550  dirkertrigeqlem1  38991  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  fmtno5lem4  40006  257prm  40011  fmtno4nprmfac193  40024  fmtno5faclem3  40031  fmtno5fac  40032  139prmALT  40049  127prm  40053  gbpart8  40190
  Copyright terms: Public domain W3C validator