Theorem dvdsmul1 14841

Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmul1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11259	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		zcn 11259	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3		mulcom 9901	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2anr 494	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁))
5		zmulcl 11303	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		dvds0lem 14830	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
7	6	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8	7	3com12 1261	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9	5, 8	mpd3an3 1417	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑁) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10	4, 9	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  14857  3dvdsdec  14892  3dvdsdecOLD  14893  3dvds2dec  14894  3dvds2decOLD  14895  2teven  14917  opoe  14925  omoe  14926  z4even  14946  ndvdsi  14974  bits0e  14989  bits0o  14990  mulgcd  15103  dvdsmulgcd  15112  lcmcllem  15147  lcmgcdlem  15157  qredeq  15209  cncongr2  15220  nprm  15239  exprmfct  15254  phimullem  15322  prmdiv  15328  iserodd  15378  difsqpwdvds  15429  expnprm  15444  pockthlem  15447  prmreclem3  15460  4sqlem14  15500  odmulg2  17795  odbezout  17798  gexdvds  17822  sylow2alem2  17856  odadd1  18074  odadd2  18075  gexexlem  18078  prmirredlem  19660  znunit  19731  wilthlem2  24595  dvdsflf1o  24713  dvdsmulf1o  24720  ppiublem1  24727  ppiublem2  24728  perfectlem1  24754  bposlem3  24811  lgsdir  24857  lgsquadlem1  24905  lgsquad2lem1  24909  lgsquad2lem2  24910  2lgsoddprmlem2  24934  2lgsoddprmlem3  24939  2sqlem4  24946  2sqblem  24956  dchrisumlem1  24978  ex-ind-dvds  26710  2sqmod  28979  jm2.23  36581  jm2.27c  36592  inductionexd  37473  fouriersw  39124  etransclem24  39151  etransclem28  39155  2pwp1prm  40041  perfectALTVlem1  40164