Theorem k0004val0 37472

Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004val0	⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11184	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3	2	k0004val 37468	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
5		0p1e1 11009	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (1...(0 + 1)) = (1...1)
7		1z 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		fzsn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
10	6, 9	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (1...(0 + 1)) = {1}
11	10	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1})
12		rabeq 3166	. . . . 5 ⊢ (((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1}
14	10	sumeq1i 14276	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘)
15		elmapi 7765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
16		fsn2g 6311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
17	7, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
18	17	biimpi 205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
19		unitssre 12190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
20		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
22	21	sseli 3564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
24	15, 18, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
25		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
26	25	sumsn 14319	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
27	7, 24, 26	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
28	14, 27	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = (𝑡‘1))
29	28	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
30	29	rabbiia 3161	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
31	13, 30	eqtri 2632	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
32		rabeqsn 4161	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
33		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
34		1elunit 12162	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
35		k0004lem3 37467	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
36	7, 33, 34, 35	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
37	32, 36	mpgbir 1717	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
38	31, 37	eqtri 2632	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
39	4, 38	eqtri 2632	1 ⊢ (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by: (None)