Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoodd 39983
 Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoodd (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

Proof of Theorem fmtnoodd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11062 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 12892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11211 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
72, 6nnexpcld 12892 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
87nnzd 11357 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
9 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))))
109oveq1d 6564 . . . 4 (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1))
11 fmtno 39979 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
1210, 11eqeqan12rd 2628 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁) ↔ ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13 2cnd 10970 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
147nncnd 10913 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
1513, 14mulcomd 9940 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
16 expm1t 12750 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
1713, 4, 16syl2anc 691 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
1815, 17eqtr4d 2647 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
1918oveq1d 6564 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
208, 12, 19rspcedvd 3289 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
21 fmtnonn 39981 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
2221nnzd 11357 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
23 odd2np1 14903 . . 3 ((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
2422, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
2520, 24mpbird 246 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  FermatNocfmtno 39977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822  df-fmtno 39978 This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  39996  fmtnoprmfac1  40015  fmtnoprmfac2  40017
 Copyright terms: Public domain W3C validator