MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadaddlem 15026
Description: Lemma for sadadd 15027. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadaddlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadaddlem.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadaddlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sadaddlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
sadaddlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadaddlem (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadaddlem
StepHypRef Expression
1 sadaddlem.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
21fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
3 sadaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6 sadaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
83, 7zmodcld 12553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))))
11 bitsmod 14996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
123, 6, 11syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
1310, 12eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))
14 bitsf1o 15005 . . . . . . . . . . . . . 14 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
15 f1ocnvfv 6434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
1614, 8, 15sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁))))
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
182, 17syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
1918oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))))
2019oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
213zred 11358 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
227nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
23 moddifz 12544 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
2421, 22, 23syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
2520, 24eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
267nnzd 11357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
277nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝑁) ≠ 0)
28 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐴)
29 bitsss 14986 . . . . . . . . . . . . . 14 (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0
3028, 29sstri 3577 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
31 fzofi 12635 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ Fin
32 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
33 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3431, 32, 33mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
35 elfpw 8151 . . . . . . . . . . . . 13 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3630, 34, 35mpbir2an 957 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
37 f1ocnv 6062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
38 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
3914, 37, 38mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
401feq1i 5949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
4139, 40mpbir 220 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
4241ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . 12 (((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
4336, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
453, 44zsubcld 11363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
46 dvdsval2 14824 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
4726, 27, 45, 46syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
4825, 47mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))))
491fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
50 sadaddlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5150, 7zmodcld 12553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
52 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))))
54 bitsmod 14996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
5550, 6, 54syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
5653, 55eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))
57 f1ocnvfv 6434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐵 mod (2↑𝑁)) ∈ ℕ0) → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁))))
5814, 51, 57sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 mod (2↑𝑁))) = ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁))))
5956, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁)))
6049, 59syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) = (𝐵 mod (2↑𝑁)))
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))))
6261oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) = ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
6350zred 11358 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64 moddifz 12544 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
6563, 22, 64syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐵 mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
6662, 65eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
67 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (bits‘𝐵)
68 bitsss 14986 . . . . . . . . . . . . . 14 (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0
6967, 68sstri 3577 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
70 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
71 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
7231, 70, 71mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
73 elfpw 8151 . . . . . . . . . . . . 13 (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
7469, 72, 73mpbir2an 957 . . . . . . . . . . . 12 ((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
7541ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . 12 (((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7674, 75mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
7776nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
7850, 77zsubcld 11363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
79 dvdsval2 14824 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
8026, 27, 78, 79syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
8166, 80mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))
82 dvds2add 14853 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → (((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∧ (2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))) → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
8326, 45, 78, 82syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑𝑁) ∥ (𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) ∧ (2↑𝑁) ∥ (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))) → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
8448, 81, 83mp2and 711 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
853zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8650zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8743nn0cnd 11230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
8876nn0cnd 11230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
8985, 86, 87, 88addsub4d 10318 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))) = ((𝐴 − (𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁)))) + (𝐵 − (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
9084, 89breqtrrd 4611 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁))))))
913, 50zaddcld 11362 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
9244, 77zaddcld 11362 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ)
93 moddvds 14829 . . . . . 6 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
947, 91, 92, 93syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)) ↔ (2↑𝑁) ∥ ((𝐴 + 𝐵) − ((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))))))
9590, 94mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
9629a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (bits‘𝐴) ⊆ ℕ0)
9768a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0)
98 sadaddlem.c . . . . 5 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ (bits‘𝐴), 𝑚 ∈ (bits‘𝐵), ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
9996, 97, 98, 6, 1sadadd3 15021 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (((𝐾‘((bits‘𝐴) ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘((bits‘𝐵) ∩ (0..^𝑁)))) mod (2↑𝑁)))
100 inss1 3795 . . . . . . . . 9 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵))
101 sadcl 15022 . . . . . . . . . 10 (((bits‘𝐴) ⊆ ℕ0 ∧ (bits‘𝐵) ⊆ ℕ0) → ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0)
10229, 68, 101mp2an 704 . . . . . . . . 9 ((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ⊆ ℕ0
103100, 102sstri 3577 . . . . . . . 8 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0
104 inss2 3796 . . . . . . . . 9 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
105 ssfi 8065 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
10631, 104, 105mp2an 704 . . . . . . . 8 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin
107 elfpw 8151 . . . . . . . 8 ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
108103, 106, 107mpbir2an 957 . . . . . . 7 (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
10941ffvelrni 6266 . . . . . . 7 ((((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
110108, 109mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
111110nn0red 11229 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
112110nn0ge0d 11231 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
1131fveq1i 6104 . . . . . . . . . 10 (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
114113fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
115 fvres 6117 . . . . . . . . . 10 ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
116110, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
117108a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
118 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . . . 10 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
11914, 117, 118sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
120114, 116, 1193eqtr3a 2668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) = (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))
121120, 104syl6eqss 3618 . . . . . . 7 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
122110nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
123 bitsfzo 14995 . . . . . . . 8 (((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
124122, 6, 123syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
125121, 124mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
126 elfzolt2 12348 . . . . . 6 ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
127125, 126syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
128 modid 12557 . . . . 5 ((((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) ∧ (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))) → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
129111, 22, 112, 127, 128syl22anc 1319 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
13095, 99, 1293eqtr2d 2650 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁)) = (𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁))))
131130fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))) = (bits‘(𝐾‘(((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)))))
132131, 120eqtr2d 2645 1 (𝜑 → (((bits‘𝐴) sadd (bits‘𝐵)) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘((𝐴 + 𝐵) mod (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  caddwcad 1536  wcel 1977  wne 2780  cin 3539  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  cres 5040  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  Fincfn 7841  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  +crp 11708  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530  seqcseq 12663  cexp 12722  cdvds 14821  bitscbits 14979   sadd csad 14980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-fal 1481  df-had 1524  df-cad 1537  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-bits 14982  df-sad 15011
This theorem is referenced by:  sadadd  15027
  Copyright terms: Public domain W3C validator