Theorem f1ocnv 6062

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5903	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5502	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5893	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 237	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 37	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 591	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 6058	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 6058	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 280	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ^◡ccnv 5037  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  –1-1-onto→wf1o 5803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  6063  f1orescnv  6065  f1imacnv  6066  f1cnv  6073  f1ococnv1  6078  f1oresrab  6302  f1ocnvfv2  6433  f1ocnvdm  6440  f1ocnvfvrneq  6441  fcof1oinvd  6448  fveqf1o  6457  isocnv  6480  weniso  6504  f1ofveu  6544  f1oexrnex  7008  f1oexbi  7009  fnwelem  7179  oacomf1o  7532  mapsnf1o3  7792  ener  7888  enerOLD  7889  en0  7905  en1  7909  omf1o  7948  domss2  8004  mapen  8009  ssenen  8019  f1fi  8136  f1opwfi  8153  mapfienlem2  8194  mapfienlem3  8195  mapfien  8196  mapfien2  8197  ordiso2  8303  unxpwdom2  8376  cantnfle  8451  cantnfp1lem3  8460  cantnflem1b  8466  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469  wemapwe  8477  oef1o  8478  cnfcomlem  8479  cnfcom  8480  cnfcom2lem  8481  cnfcom2  8482  cnfcom3lem  8483  cnfcom3  8484  infxpenlem  8719  infxpenc  8724  dfac8b  8737  acndom  8757  acndom2  8760  iunfictbso  8820  dfac12lem2  8849  infpssrlem3  9010  infpssrlem4  9011  fin1a2lem7  9111  axcc3  9143  ttukeylem7  9220  fpwwe2lem6  9336  fpwwe2lem7  9337  pwfseqlem5  9364  axdc4uzlem  12644  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  hashfacen  13095  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  cnrecnv  13753  isercolllem2  14244  isercoll  14246  summolem3  14292  summolem2a  14293  ackbijnn  14399  prodmolem3  14502  prodmolem2a  14503  sadcaddlem  15017  sadadd2lem  15019  sadadd3  15021  sadaddlem  15026  sadasslem  15030  sadeq  15032  phimullem  15322  eulerthlem2  15325  unbenlem  15450  1arith2  15470  xpsbas  16057  xpsadd  16059  xpsmul  16060  xpssca  16061  xpsvsca  16062  xpsless  16063  xpsle  16064  setcinv  16563  catcisolem  16579  xpsmnd  17153  mhmf1o  17168  xpsgrp  17357  ghmf1o  17513  symggrp  17643  symginv  17645  f1omvdcnv  17687  f1omvdconj  17689  pmtrfconj  17709  odngen  17815  gsumval3eu  18128  gsumval3  18131  gsumzf1o  18136  lmhmf1o  18867  fidomndrnglem  19127  psrass1lem  19198  coe1sfi  19404  znleval  19722  zntoslem  19724  znunithash  19732  mdetleib2  20213  basqtop  21324  tgqtop  21325  reghmph  21406  indishmph  21411  cmphaushmeo  21413  ordthmeolem  21414  txhmeo  21416  xpstps  21423  xpstopnlem2  21424  qtopf1  21429  ufldom  21576  symgtgp  21715  tgpconcompeqg  21725  xpsdsfn  21992  xpsxmet  21995  xpsdsval  21996  xpsmet  21997  imasf1obl  22103  xpsxms  22149  xpsms  22150  iccpnfcnv  22551  xrhmeo  22553  ovoliunlem2  23078  vitalilem2  23184  mbfimaopnlem  23228  dvcnvlem  23543  dvcnv  23544  dvcnvrelem2  23585  dvcnvre  23586  efif1olem4  24095  eff1olem  24098  logrn  24109  logf1o  24115  dvlog  24197  asinrebnd  24428  sqff1o  24708  lgsqrlem4  24874  cnvmot  25236  f1otrg  25551  f1otrge  25552  cnvunop  28161  unopadj  28162  fresf1o  28815  padct  28885  fcobij  28888  abliso  29027  madjusmdetlem2  29222  madjusmdetlem4  29224  tpr2rico  29286  esumiun  29483  derangenlem  30407  subfacp1lem4  30419  cvmfolem  30515  cvmliftlem6  30526  fv1stcnv  30925  fv2ndcnv  30926  f1ocan1fv  32691  f1ocan2fv  32692  ismtycnv  32771  ismtyima  32772  ismtyhmeolem  32773  ismtybndlem  32775  rngoisocnv  32950  lautcnv  34394  cdlemk45  35253  cdlemn9  35512  eldioph2  36343  kelac1  36651  brco2f1o  37350  brco3f1o  37351  sge0f1o  39275  mgmhmf1o  41577