Theorem zsubcld 11363

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 11296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   − cmin 10145  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  eluzmn  11570  uzsubsubfz  12234  fzm1  12289  eluzgtdifelfzo  12397  ubmelm1fzo  12430  elfznelfzo  12439  intfracq  12520  modsubdir  12601  modsumfzodifsn  12605  zesq  12849  bcval5  12967  swrdfv2  13298  ccatswrd  13308  swrdccatin12lem2b  13337  cshwidxmod  13400  2cshwcshw  13422  cshwcsh2id  13425  fzomaxdiflem  13930  iseralt  14263  fsum0diaglem  14350  mptfzshft  14352  mertenslem1  14455  eirrlem  14771  fzocongeq  14884  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  modremain  14970  bitsfzolem  14994  bitsmod  14996  bitscmp  14998  bitsinv1lem  15001  sadaddlem  15026  bezoutlem3  15096  cncongr1  15219  hashdvds  15318  crth  15321  eulerthlem2  15325  prmdiveq  15329  modprm0  15348  pythagtriplem4  15362  pythagtriplem6  15364  pythagtriplem7  15365  pythagtriplem11  15368  pythagtriplem13  15370  pythagtriplem15  15372  pcqcl  15399  pcaddlem  15430  pcbc  15442  gzmulcl  15480  4sqlem5  15484  4sqlem8  15487  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  4sqlem14  15500  4sqlem16  15502  mndodconglem  17783  sylow1lem1  17836  sylow1lem3  17838  gsummptshft  18159  znf1o  19719  zdis  22427  plydivex  23856  aaliou3lem8  23904  basellem3  24609  bcmono  24802  bcmax  24803  bposlem1  24809  lgsmod  24848  lgsdirprm  24856  lgsqrlem2  24872  gausslemma2dlem0h  24888  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem5a  24895  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgsquadlem1  24905  2lgslem2  24920  2sqlem4  24946  2sqlem8  24951  pntrlog2bndlem1  25066  clwlkisclwwlklem2a1  26307  clwlkisclwwlklem2fv1  26310  clwlkisclwwlklem2a4  26312  clwlkisclwwlklem2a  26313  extwwlkfablem2  26605  fzspl  28938  fzsplit3  28940  ltesubnnd  28955  2sqmod  28979  archirngz  29074  smatrcl  29190  ballotlemfp1  29880  ballotlemimin  29894  ballotlemic  29895  ballotlem1c  29896  ballotlemfrceq  29917  ballotlemfrcn0  29918  signsplypnf  29953  signslema  29965  bcprod  30877  fwddifnp1  31442  lzenom  36351  irrapxlem3  36406  pellexlem5  36415  rmspecnonsq  36490  congtr  36550  congmul  36552  congsym  36553  congrep  36558  acongrep  36565  acongeq  36568  dvdsacongtr  36569  jm2.18  36573  jm2.23  36581  jm2.20nn  36582  jm2.25  36584  jm2.26a  36585  jm2.26lem3  36586  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592  jm3.1lem3  36604  jm3.1  36605  expdiophlem1  36606  hashnzfzclim  37543  binomcxplemnn0  37570  oddfl  38430  fmul01lt1lem2  38652  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  stoweidlem26  38919  wallispilem4  38961  fourierdlem26  39026  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem48  39047  fouriersw  39124  elaa2lem  39126  etransclem3  39130  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem15  39142  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem22  39149  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem27  39154  etransclem35  39162  etransclem48  39175  goldbachthlem2  39996  pwm1geoserALT  40040  2pwp1prm  40041  2elfz2melfz  40355  crctcsh1wlkn0lem3  41015  crctcsh1wlkn0lem4  41016  crctcsh1wlkn0lem6  41018  crctcsh1wlkn0  41024  clwlkclwwlklem2a1  41201  clwlkclwwlklem2fv1  41204  clwlkclwwlklem2a4  41206  clwlkclwwlklem2a  41207  av-extwwlkfablem2  41510  altgsumbcALT  41924  digexp  42199  dignn0flhalflem1  42207