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Theorem acongrep 36565
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 simpl 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 10920 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
41, 2, 3sylancr 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5 simpr 476 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 congrep 36558 . . 3 (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74, 5, 6syl2anc 691 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
8 elfzelz 12213 . . . . 5 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
98zred 11358 . . . 4 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
109ad2antrl 760 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11 nnre 10904 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 758 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 elfzle1 12215 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
1413ad2antrl 760 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
1514anim1i 590 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴))
168ad2antrl 760 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17 0zd 11266 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18 nnz 11276 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 elfz 12203 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2221adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2315, 22mpbird 246 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24 simplrr 797 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
2524orcd 406 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
27 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑁 = 𝑁)
2826, 27acongeq12d 36564 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
2928rspcev 3282 . . . 4 ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
3023, 25, 29syl2anc 691 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31 simplll 794 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32 simplrl 796 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
3493ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 remulcl 9900 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3735, 11, 36sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39 0zd 11266 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40 2z 11286 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
41 zmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
4240, 18, 41sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44 simp2 1055 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45 elfzm11 12280 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴))))
4645biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4739, 43, 44, 46syl21anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4847simp3d 1068 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
4934, 38, 48ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
5038, 34subge0d 10496 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
5149, 50mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52113ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 nncn 10905 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54 2times 11022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5554oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56 pncan2 10167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5756anidms 675 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5855, 57eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5953, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60593ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61 simp3 1056 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
6260, 61eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
6338, 52, 34, 62subled 10509 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
6451, 63jca 553 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6531, 32, 33, 64syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6640, 19, 41sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6766, 16zsubcld 11363 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68 elfz 12203 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
6967, 17, 19, 68syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7069adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7165, 70mpbird 246 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73 simprr 792 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74 congsym 36553 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7566, 16, 72, 73, 74syl22anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7672, 16zsubcld 11363 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑁𝑏) ∈ ℤ)
77 dvdsadd 14862 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7866, 76, 77syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7975, 78mpbid 221 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8067zcnd 11359 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81 zcn 11259 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8281ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8380, 82subnegd 10278 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
8466zcnd 11359 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
8510recnd 9947 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
8684, 85, 82subadd23d 10293 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8783, 86eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8879, 87breqtrrd 4611 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
8988adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
9089olcd 407 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
9391, 92acongeq12d 36564 . . . . 5 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
9493rspcev 3282 . . . 4 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9571, 90, 94syl2anc 691 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9610, 12, 30, 95lecasei 10022 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
977, 96rexlimddv 3017 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146  cn 10897  2c2 10947  cz 11254  ...cfz 12197  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-dvds 14822
This theorem is referenced by:  jm2.26  36587
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