clwlkclwwlklem2a - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem clwlkclwwlklem2a 41207

Description: Lemma for clwlkclwwlklem2 41209. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑖,𝐸 𝑖,𝐹 𝑃,𝑖 𝑅,𝑖,𝑥 𝑖,𝑉 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2		f1f1orn 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
3	2	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
5	4	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
6		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)))
7		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
8		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
10		elnn0z 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 0 ∈ ℝ)
12		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19		lelttr 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
20	11, 13, 18, 19	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
21		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
22		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 2 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
24	21, 23	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
25	24	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
26		elnnz 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
27	25, 26	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
28		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
29		peano2cnm 10226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31	30	subid1d 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
32	31	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
33		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
34	28, 33, 33	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
35		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (1 + 1) = 2)
37	36	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
38	34, 37	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
39	32, 38	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
40	39	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
42	27, 41	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
43	42	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (0 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
45	20, 44	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
46	45	exp4b 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
47	46	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑥 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
48	47	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
49	10, 48	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
53	52	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
54		df-2 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 2 = (1 + 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 = (1 + 1))
56	55	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
57	31	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
58	57	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
59	56, 34, 58	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − 2) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
61	60	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
62	61	biimpcd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
64	63	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
65		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
66	9, 53, 64, 65	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
67	66	exp32 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (#‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
68	67	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (#‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
69	68	com24 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
70	69	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
71	70	com25 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
72	71	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
73	72	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
74	73	com14 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
75	7, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
76	75	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
77	76	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
78	6, 77	syl7bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
79	78	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
80	79	imp31 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
81		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑥))
82		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 + 1) = (𝑥 + 1))
83	82	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
84	81, 83	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
85	84	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
87	80, 86	rspcdv 3285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
88	87	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
89	88	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
90	89	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
91	90	impcom 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
92	91	expdimp 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
93	92	impcom 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94		f1ocnvdm 6440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
95	5, 93, 94	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
96	1, 95	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸))
97	96	orcd 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
98		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
99	4	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
100		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℤ)
101		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
102	21, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
103	100, 102	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ))
104		zltlem1 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
106	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
107	106	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
108	107	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
109	105, 108	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
110	109	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
111	110	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
112		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ → 𝑥 ∈ ℝ)
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
114	113, 17	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ))
115		lenlt 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥))
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥))
117	111, 116	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)
118	117	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
119	114	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
121		lttri3 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((#‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
123	118, 122	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)
124	123	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
125	124	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
126	125	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
127	6, 126	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
128	127	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
129	7, 128	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
130	129	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
131	130	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)
132	131	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘𝑥))
133	132	preq1d 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})
134	133	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
135	134	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
136	135	exp32 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137	136	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138	137	com14 94	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
139	138	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
140	139	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
141	140	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
142	141	imp31 447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
143	142	impcom 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
144		f1ocnvdm 6440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
145	99, 143, 144	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
146	98, 145	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))
147	146	olcd 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
148	97, 147	pm2.61ian 827	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
149		ifel 4079	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
150	148, 149	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸)
151		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
152	150, 151	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
153		iswrdi 13164	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
154	152, 153	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
155		wrdf 13165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉)
156	155	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉)
157	151	clwlkisclwwlklem2a2 26308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
158		fzoval 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
159	7, 21, 158	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
160		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝐹) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
161	160	eqcoms 2618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
162	159, 161	sylan9eq 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝐹)))
163	157, 162	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝐹)))
164	163	feq2d 5944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
165	156, 164	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
166	165	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
167	166	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
168		clwlkclwwlklem2a1 41201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
169	168	3adant1 1072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
170	169	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
171	157	3adant1 1072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
172	171	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
173	151	clwlkclwwlklem2a4 41206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
174	173	impl 648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
175	174	ralimdva 2945	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
176		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
177	176	raleqdv 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
178	177	imbi2d 329	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
179	175, 178	syl5ibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
180	172, 179	mpcom 37	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
181	180	adantrr 749	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
182	170, 181	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
183	154, 167, 182	3jca 1235	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
184	151	clwlkisclwwlklem2a3 26309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
185	184	3adant1 1072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
186	185	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
187	186	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = ( lastS ‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
188	187	biimpcd 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = ( lastS ‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
189	188	eqcoms 2618	. . . . 5 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
190	189	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
191	190	impcom 445	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
192	183, 191	jca 553	. 2 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
193	192	ex 449	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 ifcif 4036 {cpr 4127 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ^◡ccnv 5037 dom cdm 5038 ran crn 5039 ⟶wf 5800 –1-1→wf1 5801 –1-1-onto→wf1o 5803 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem1 41208

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