Theorem fzoval 12340

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 6556	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 6568	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 12335	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 6577	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpt2a 6689	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	con3i 149	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		fzof 12336	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
10	9	fdmi 5965	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
11	10	ndmov 6716	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12	8, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
13		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	con3i 149	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
15		fzf 12201	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 5965	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
17	16	ndmov 6716	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
18	14, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
19	12, 18	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21	6, 20	pm2.61ian 827	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   × cxp 5036  (class class class)co 6549  1c1 9816   − cmin 10145  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  elfzo  12341  fzon  12358  fzoss1  12364  fzoss2  12365  fz1fzo0m1  12383  fzval3  12404  fzo13pr  12419  fzo0to2pr  12420  fzo0to3tp  12421  fzo0to42pr  12422  fzo1to4tp  12423  fzoend  12425  fzofzp1b  12432  elfzom1b  12433  peano2fzor  12441  fzoshftral  12447  zmodfzo  12555  zmodidfzo  12561  fzofi  12635  hashfzo  13076  wrdffz  13181  revcl  13361  revlen  13362  revccat  13366  revrev  13367  revco  13431  fzosump1  14325  telfsumo  14375  fsumparts  14379  geoser  14438  geo2sum2  14444  dfphi2  15317  reumodprminv  15347  gsumwsubmcl  17198  gsumccat  17201  gsumwmhm  17205  efgsdmi  17968  efgs1b  17972  efgredlemf  17977  efgredlemd  17980  efgredlemc  17981  efgredlem  17983  cpmadugsumlemF  20500  advlogexp  24201  dchrisumlem1  24978  wlkntrllem2  26090  redwlk  26136  constr3pthlem1  26183  constr3pthlem3  26185  wlkiswwlk2lem3  26221  clwlkisclwwlklem2a  26313  submat1n  29199  eulerpartlemd  29755  fzssfzo  29940  signstfvn  29972  bccbc  37566  monoords  38452  elfzolem1  38478  stirlinglem12  38978  iccpartiltu  39960  iccpartigtl  39961  iccpartgt  39965  pwdif  40039  pwm1geoserALT  40040  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  red1wlklem  40880  1wlkiswwlks2lem3  41068  1wlkiswwlksupgr2  41074  clwlkclwwlklem2a  41207  1wlk2v2e  41324  eucrct2eupth  41413  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212